高校数学の窓LaTeX版: 積分

ラベル積分の投稿を表示しています。すべての投稿を表示

質問＜３７２１＞２００８／５／５ from=ココナッツ「積分」

$\frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4}$ を積分せよ。

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

確かに見た目トリッキーではあるんですが……。
ハッキリ言うと、この程度のレベルの単なる計算問題と言うのは、マトモな教科書使っていれば例題で解き方示唆してるハズなんですよ。万が一、解き方が書いてないんだったらそれはマトモな教科書ではないって事です。今すぐ使用している教科書を止めて別の教科書を入手した方が良いでしょう。
とは言っても、図書館行って教科書借りてくるのも良いでしょうし(実際、市立図書館レベルでも大学で使用するような教科書は蔵書に入ってたりします)、別に新品じゃなくって古本程度で事足りるんです。東京だったら神保町辺りまで出かければ新古商品の教科書を安く買えるでしょうし、また書籍の価値に無頓着なBOOK OFFだったら下手すれば500円くらいで良い教科書が手に入る場合もあります(BOOK OFFは大体どこでも盛況なんですが、みんなマンガコーナーでの立ち読みに熱中し過ぎて良書の存在を見落としてるケースが多いです)。また、Amazonを利用するのも良いでしょう。書評を調べるなり、現物を手に取って見るなりして下さい。自分の程度に合った分かりやすい教科書は意外に色々とあるモノなんです。
いずれにせよ、この程度の計算問題は、微分積分を習っている時点で出来て当たり前なんです。ホントですよ。

まずはMaximaをダウンロードして答えが実際にどうなるのか見てみてください。積分の方法はコチラに書いてあります。一回Maximaで積分してどんな数式になるのか見てみましょう。多分見た目凄い式が出てくる筈です。で、どうしてそんな解が求まるのか、暫く考えてみましょう。

この積分は与式を部分分数(partial fraction)に変換してから解く、と言うのがポイントです。そのテクニックは下手すれば、理系の高校生だったら、高校の数学III・Cの範囲で勉強しているかもしれません。少なくとも亀田が高校生時分ではチャート式や解テク辺りでも取り上げられていたテクニックです。
ここで部分分数への変換もMaximaでやってみます。部分分数のコマンドは


partfrac(部分分数に直したい数式, 変数名)

です。

	Maximaの下段の入力欄に与式を入力する。
	[Enter]キーを叩くとMaximaに与式が認識される。
	Maximaの出力番号`%o1`を利用して与式の部分分数化を試みる。入力コードは `partfrac(%o1, x)` となり、これをMaximaの入力欄に入力する。
	[Enter]キーを叩くと出力番号`%o1`の部分分数解が求まる。

さて、これで得られる与式の部分分数解は以下の通りです。

$-\frac{5}{12\,\left( x+2\right) }+\frac{1}{3\,\left( x+1\right) }-\frac{1}{3\,\left( x-1\right) }+\frac{5}{12\,\left( x-2\right) }$

要するに上の式を教科書通りにある積分公式を使って積分すれば、Maximaで直接積分した値と同じになります。そこはご自分でやってみてください。
また、上の式を元の式に戻す事もやってみてください。これも計算練習です。そして、単純に言うと、その逆作業が部分分数を作り出す方法となります。これも基本テクニックなので、練習しておいた方が良いでしょう。
(そしてそれもマトモな教科書だったらフツーに載ってる方法なんで、ここでは説明しません。)

以上です。

微分積分いい気分♥

質問＜３６５１＞２００７／１２／９from=ゆき「積分」

問題文を読んで図を描いてみたのですが、今ひとつしっくりこなくて…
宜しくお願いいたします。

原点Ｏを中心とする半径ａの円に糸がまきつけられていて、
糸の端は点Ａ（ａ，０）にあり、反時計回りにほどける。
いま、糸をたわむことなくほどいていき、その糸と円の接点をＲとし、
∠ＡＯＲ＝θ（０≦θ≦２π）とする。
更に、ほどかれた糸の端の座標をＰ（ｘ，ｙ）とする。

ｘとｙをθの関数で表せ。

第一象限にあるＰの軌跡と円および直線ｙ＝ａで囲まれる部分の面積を求めよ。

★希望★完全解答★

クソややこしそうな問題ですね(笑)。
僕も図描いてみようかな、と思ったんですがメンド臭いんで止めます(笑)。
ええと、いくつか分かっている条件を列挙してみましょうか。

糸をたわむことなくほどく→と言う事は糸は円への接線となり、∠PROは常に90度である。

ほどかれた糸の長さはaθとなる。

条件1により、三角形PROは直角三角形となる。

直角三角形PROの底辺ROは円の半径に等しくa、辺PRの長さはaθ、そして斜辺の長さは $a\sqrt{1+\theta^2}$ である。

∠POA＝α、∠ROP＝βとすると、θ＝α＋βの関係を満たしている。

こんなトコロでしょうか?
まあ、上の条件を自分でした作図にでも書き込んでおいてください。
では見ていってみます。

ｘとｙをθの関数で表せ。

ここで、直線POの長さはと分かっているので、∠POA＝αを利用すると、x、yの座標は、
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\cos{\alpha}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\sin{\alpha}$
と書き表せます。
ここで、θ＝α＋βと言う条件を用いると、
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\cos{(\theta -\beta)}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\sin{(\theta -\beta)}$
なので、加法定理を用いて
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\left{\cos{\theta}\cos{\beta} +\sin{\theta}\sin{\beta}\right}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\left{\sin{\theta}\cos{\beta} -\cos{\theta}\sin{\beta}\right}$
と書き換えます。
ここで、三角形PROは直角三角形なのを考慮すると、
- $\cos{\beta}=\frac{a}{a\sqrt{1+\theta^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}$
- $\sin{\beta}=\frac{a\theta}{a\sqrt{1+\theta^2}}=\frac{\theta}{\sqrt{1+\theta^2}}$
なので、それぞれx、yに代入して整理すると、
- $x=a(\cos{\theta} +\theta\sin{\theta})$
- $y=a(\sin{\theta} -\theta\cos{\theta})$
となります。

第一象限にあるＰの軌跡と円および直線ｙ＝ａで囲まれる部分の面積を求めよ。

これは馬鹿正直に面積Iを積分を利用して計算すると、糸の端の軌跡P(x,y)と直線ｙ＝ａの交点のx座標をLとすれば、

$I=\int_0^L a dx - \int_0^a \sqrt{a^2 -x^2} dx -\int_a^L P(x, y) dx$

となるんですが、実際問題、 $0\le x\le a$ の範囲では単純に正方形の面積 $a^2$ から $\frac{1}{4}$ 円の面積 $\frac{\pi a^2}{4}$ を引けば良く、 $a\le x \le L$ の範囲では長方形の面積 $a(L-a)$ から $\int_a^L P(x,y) dx$ を引けばいいだけです。
すなわち、

$I=\frac{(4-\pi)a^2}{4}+a(L-a)-\int_a^L P(x,y) dx$

となり、事実上 $\int_a^L P(x, y) dx$ だけを計算すれば良い事になります。
では $\int_a^L P(x,y) dx$ をどうやって計算しようか、と言う話になるんですが、実際問題これは円の面積の計算方法と同じです。
一般に円の面積計算では

$\int_0^r \sqrt{r^2 -x^2} dx$

と置いて、これを媒介変数(角度)を介して変数変換して積分するんですが、一方、 $\int_a^L P(x,y) dx$ の計算の場合は径が定数ではなく、角度の関数だ、って事だけが違うのです。あとは全部同じですね。
すなわち、

$\int_a^L y dx$

を角度を媒介変数として積分すればよく、また、1.でxの中身もyの中身も分かっています。
変数変換の為にまずはxを微分すると、

$dx=a\theta\cos{\theta} d\theta$

となり、これを利用して、

$\int_0^\phi a(\sin{\theta}-\theta\cos{\theta})\times a\theta\cos{\theta} d\theta$

$=a^2\int_0^\phi (\sin{\theta}-\theta\cos{\theta})\theta\cos{\theta} d\theta$

を計算すればいいです。
まあ、考え方さえ分かれば後は単なる計算問題ですし、メンド臭いんで、ここからはMaximaを用いて定積分してみます(Maximaによる積分の方法はココを参照の事)。

	まずはMaximaを起動する。
	数式を入力して定積分する。なお、積分範囲は0〜 $\pi/2$ となる。と言うのも、P(a,0)は $\theta=0$ の時でP(L,a)は $\theta=\frac{\pi}{2}$ の時だから。つまり、第一象限と言う条件を考慮すると、 $\theta= \frac{\pi}{2}$ の時P(x,y)の高さがaとなり、P(x,y)はy=aと交点を持つ。
	解が表示される。解は $-\frac{(\pi^3 -12\pi)a^2}{48}$ との事。

$\theta=\frac{\pi}{2}$ の時x＝Lになるので、 $L=\frac{a\pi}{2}$ を考慮して、

$I=\frac{(4-\pi)a^2}{4}+a(\frac{a\pi}{2}-a)+\frac{(\pi^3-12\pi)a^2}{48}$

$=\frac{a^2\pi^3}{48}$

となります。

以上です。

Maxima Manual: 積分

質問＜３５８８＞２００７／８／１６ from=小豆「積分」

いつもお世話になっています。

以下の問題を教えて下さい。
$\int{\sqrt{1-\frac{x}{x+2}}}dx$

Maximaで解こうとしましたが、エラーが出てうまくいきません。

宜しくお願いします。

はいはい。
Maxima活用してますね(笑)。便利でしょ(笑)?
ところで、Maximaもたまにバカな挙動します(笑)。
正確に言うと、Maximaは「計算」してるんじゃなくって、実は一種の「記号処理」をしてるんです。つまり、字面から判断して別の字面に変換してるんですね。
これがLispと言う記号処理言語で書かれたMaximaの偉いトコなんですが、それでもたまにおかしな変換をしたり、人間よろしく「諦めたり」する(爆)。こういう辺りで、「コンピュータの限界」を見ることが出来るのです。パソコンも結構バカなんですよ(笑)。
こういう場合、人間がそれなりに補助してやんなきゃならないケースが出てきたりします。
ちょっとやっていってみましょう。

こういう状態でしょ?
つまり、

(%i1) integrate(sqrt(1-x/(x+2)), x);
(%o1) $\int \sqrt{1-\frac{x}{x+2}}dx$

と出てきやがる(笑)。何にも計算してくれていない。
平たく言うと、積分対象の $\sqrt{1-\frac{x}{x+2}}$ と言う関数の記号処理が上手くいってないんですね。
こういう場合どうするか?人間だったら、計算しやすくなるように式の整理を施すトコ、ですね。例えば項をまとめてみたり(factoring)、ないしは展開してみたりする(expanding)。コンピュータも同じですね。
Maximaの下を見てみれば分かりますが、このテのコマンドもキチンと存在します。

ここではFactorと言うコマンドを利用してみましょう。

註:factorは日本語では因数分解、と訳される場合が多いが、元々の意味から言うと、単に項をまとめる、と言うような至極単純な意味。因数分解も実際、単純に項をまとめる作業だ。

Maxima下段のINPUT:欄に次のように入力してみます。

factor(sqrt(1-x/(x+2)))

そうすると、次のような出力が得られます。

(%i2) factor(sqrt(1-x/(x+2)));
(%o2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}}$

はい。その通りですね。確かに $\sqrt{1-\frac{x}{x+2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}}$ です。
これをこのまま積分します。出力番号(%o2)を利用して、また、INPUT:欄に次のように入力して下さい。

integrate(%02,x)

これは出力番号%o2をxに付いて積分せよ、と言うような命令です。またいちいち式を入力せんでもエエのです。このように、一端計算させた数式は、また入力するのは(さすがにGUIでも)メンド臭いので、出力番号(%o××)を上手く使って上手に処理しましょう。
[Enter]キーを押せば、計算結果を返してくれます。

はい。今度は上手く計算されましたね。
答えは

$2\sqrt{2(x+2)}+\mathrm{const}$

( $\mathrm{const}$ は積分定数)となるようです。
微分して、検算してみてください。

以上です。

Maxima Manual: 多項式

高校数学の窓LaTeX版

高校数学の窓過去問検索

質問＜３７２１＞２００８／５／５ from=ココナッツ「積分」

質問＜３６５１＞２００７／１２／９from=ゆき「積分」

質問＜３５８８＞２００７／８／１６ from=小豆「積分」

New

分類

ツール

数学ガール

たけしのコマ大数学科

ガスコン研究所

数学系ブログ記事

高校数学の窓LaTeX版

高校数学の窓過去問検索

質問＜３７２１＞２００８／５／５ from=ココナッツ 「積分」

質問＜３６５１＞２００７／１２／９from=ゆき「積分」

質問＜３５８８＞２００７／８／１６ from=小豆 「積分」

New

分類

ツール

数学ガール

たけしのコマ大数学科

ガスコン研究所

数学系ブログ記事

登録

質問＜３７２１＞２００８／５／５ from=ココナッツ「積分」

質問＜３５８８＞２００７／８／１６ from=小豆「積分」