高校数学の窓LaTeX版: Maxima

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質問＜３７２１＞２００８／５／５ from=ココナッツ「積分」

$\frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4}$ を積分せよ。

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

確かに見た目トリッキーではあるんですが……。
ハッキリ言うと、この程度のレベルの単なる計算問題と言うのは、マトモな教科書使っていれば例題で解き方示唆してるハズなんですよ。万が一、解き方が書いてないんだったらそれはマトモな教科書ではないって事です。今すぐ使用している教科書を止めて別の教科書を入手した方が良いでしょう。
とは言っても、図書館行って教科書借りてくるのも良いでしょうし(実際、市立図書館レベルでも大学で使用するような教科書は蔵書に入ってたりします)、別に新品じゃなくって古本程度で事足りるんです。東京だったら神保町辺りまで出かければ新古商品の教科書を安く買えるでしょうし、また書籍の価値に無頓着なBOOK OFFだったら下手すれば500円くらいで良い教科書が手に入る場合もあります(BOOK OFFは大体どこでも盛況なんですが、みんなマンガコーナーでの立ち読みに熱中し過ぎて良書の存在を見落としてるケースが多いです)。また、Amazonを利用するのも良いでしょう。書評を調べるなり、現物を手に取って見るなりして下さい。自分の程度に合った分かりやすい教科書は意外に色々とあるモノなんです。
いずれにせよ、この程度の計算問題は、微分積分を習っている時点で出来て当たり前なんです。ホントですよ。

まずはMaximaをダウンロードして答えが実際にどうなるのか見てみてください。積分の方法はコチラに書いてあります。一回Maximaで積分してどんな数式になるのか見てみましょう。多分見た目凄い式が出てくる筈です。で、どうしてそんな解が求まるのか、暫く考えてみましょう。

この積分は与式を部分分数(partial fraction)に変換してから解く、と言うのがポイントです。そのテクニックは下手すれば、理系の高校生だったら、高校の数学III・Cの範囲で勉強しているかもしれません。少なくとも亀田が高校生時分ではチャート式や解テク辺りでも取り上げられていたテクニックです。
ここで部分分数への変換もMaximaでやってみます。部分分数のコマンドは


partfrac(部分分数に直したい数式, 変数名)

です。

	Maximaの下段の入力欄に与式を入力する。
	[Enter]キーを叩くとMaximaに与式が認識される。
	Maximaの出力番号`%o1`を利用して与式の部分分数化を試みる。入力コードは `partfrac(%o1, x)` となり、これをMaximaの入力欄に入力する。
	[Enter]キーを叩くと出力番号`%o1`の部分分数解が求まる。

さて、これで得られる与式の部分分数解は以下の通りです。

$-\frac{5}{12\,\left( x+2\right) }+\frac{1}{3\,\left( x+1\right) }-\frac{1}{3\,\left( x-1\right) }+\frac{5}{12\,\left( x-2\right) }$

要するに上の式を教科書通りにある積分公式を使って積分すれば、Maximaで直接積分した値と同じになります。そこはご自分でやってみてください。
また、上の式を元の式に戻す事もやってみてください。これも計算練習です。そして、単純に言うと、その逆作業が部分分数を作り出す方法となります。これも基本テクニックなので、練習しておいた方が良いでしょう。
(そしてそれもマトモな教科書だったらフツーに載ってる方法なんで、ここでは説明しません。)

以上です。

微分積分いい気分♥

Expand expression(数式の展開)

Maximaで数式を展開する場合は、[Simplify]プルダウンメニューから[Expand expression]を選びます。

これにより、直前に入力/出力した数式の展開が行われます。

例題

$(x^2-\frac{1}{2} x)^{10}$

与えられた数式をMaximaの入力欄に入力します。

[Enter]キーを叩きます。

[Simplify]プルダウンメニューから[Expand expression]を選びます(※)。

数式の展開結果が表示されます。

答えが
だと言うことが分かります。

コマンド

入力欄で直接数式の展開指示をしたい場合は、

expand(展開したい数式)

と打ち込めばイイです。

Maxima Manual: 簡易化

Simplify(単純化)

Simplify Expression

Simplify radicals

Factor expression

Factor complex

Expand expression(数式の展開)

Expand logarithms

Contract logarithms

Factorials and gamma
- Convert to factorials
- Convert to gamma
- Simplify factorials
- Combine factorials

Trigonometric simplification
- Simplify trigonometric
- Reduce trigonometric
- Expand trigonometric
- Canonical form

Complex simplification
- Convert to rectform
- Convert to polarform
- Get real part
- Get imaginary part
- Demoivre
- Exponentialize

Substitute ...

Evaluate noun forms

Toggle algebraic flag

Add algebraic equality ...

Modulus computation ...

式の計算・簡単化

Roots of polynomial(多項式の根を求める)

Maximaでマトモに解けそうにない数式の因数分解を行う場合は[Equation]プルダウンメニューから[Roots of polynomial]を選びます。

この操作により、ジェンキンス・トラウブ(Jenkins-Traub)アルゴリズムと言う数値計算手法によってMaximaは無理矢理多項式の根を求めます。
なお、プルダウンメニューからこのコマンドを選択すると、直前に入力、または出力した数式に対してアルゴリズムを実行しようとします。結果、任意の数式に対して同様の事柄を行うにはコマンドラインでの入力が必要となります。

例題

$x^8+1$ を因数分解せよ

まずは普通にMaximaの[INPUT:]欄に与式を入力した後、[Enter]キーを打ちます。

その後、[Equation]プルダウンメニューから[Roots of polynomial]を選ぶと根が表示されます。

これにより、与式の根は

$0.9238795325112867\,i+0.3826834323650898$

$0.3826834323650898-0.9238795325112867\,i$

$0.9238795325112867\,i-0.3826834323650898$

$-0.9238795325112867\,i-0.3826834323650898$

$0.3826834323650898\,i-0.9238795325112867$

$-0.3826834323650898\,i-0.9238795325112867$

$0.3826834323650898\,i+0.9238795325112867$

$0.9238795325112867-0.3826834323650898\,i$

の8個の複素数になる事が分かります。
よって、与式の因数分解の近似は

$(x-0.9238795325112867\,i-0.3826834323650898) (x-0.3826834323650898+0.9238795325112867\,i) (x-0.9238795325112867\,i+0.3826834323650898) (x+0.9238795325112867\,i+0.3826834323650898) (x-0.3826834323650898\,i+0.9238795325112867) (x+0.3826834323650898\,i+0.9238795325112867) (x-0.3826834323650898\,i-0.9238795325112867) (x-0.9238795325112867+0.3826834323650898\,i)$

となります。

備考

コマンドラインで数値計算で任意の多項式の根を求める場合は、[INPUT:]欄に

allroots(任意の多項式)

と入力して[Enter]キーを打ちます。
ないしは出力番号を利用して、

allroots(出力番号)

としても実行出来ます。

Maxima Manual: 方程式

Differentiate ...(微分)

Maximaで微分をする場合は、[Calculus]プルダウンメニューから[Differentiate...]を選びます。

これにより表れるポップアップメニューは次の通りです。

Expression:微分したい数式を入力します。

in variable:微分したい変数を入力します。

times:微分階数を入力します。デフォルトは1で一階微分を行います。

例題:

$\frac{1}{2}\left(\frac{L}{2+x}\right)^2 x$ をxに付いて微分せよ。

Maximaの[Expression:]の項に、上記の微分したい関数を

1/2*(L/(2+x))^2*x

のように入力し、微分したい変数xを指定、そして1階微分なので[times:]をデフォルトのまま1とします。

そのまま[OK]ボタンをクリックすると、解が表示されます。

これで解が

$\frac{{L}^{2}}{2\,{\left( x+2\right) }^{2}}-\frac{x\,{L}^{2}}{{\left( x+2\right) }^{3}}$

になることが分かります。
あとは状況に応じて式を整理してみればいいだけ、です。

Maxima Manual: 微分

Get series ...(級数を求める)

Maximaでテイラー展開による級数を求める場合は、[Calculus]プルダウンメニューから[Get series...]を選びます。

これにより表れるポップアップメニューは次の通りです。

Expression:テイラー展開したい数式を入力します。

variable:どの文字に対して展開したいのか入力します(デフォルトはx)。

around:どの数字回りで展開したいのか指定します。デフォルトは0で、特に0回りのテイラー展開をマクローリン展開と呼びます。
なお、[Special]ボタンを押す事で特殊定数回りでテイラー展開する事が出来ます。
- Pi:円周率πです。
- E:自然対数の底、ネピア数eです。

depth:第何項まで展開したいか指定します。デフォルトは8まで(註:表示の関係で表示されない場合もありますが、メモリ上では保持されています)。

Power series:チェックボックスにチェックを入れると、(可能であれば)テイラー展開をΣを用いて表示します。

例題:

$\frac{x-\tan{x}}{x(1-\cos{x})}$ をマクローリン展開せよ。

Maximaの[Series]ポップアップの[Expression:]に次のように入力して[OK]ボタンを押します。

これにより解が

$-\frac{2}{3}-\frac{29\,{x}^{2}}{90}-\frac{67\,{x}^{4}}{504}-\frac{4079\,{x}^{6}}{75600}-\frac{261883\,{x}^{8}}{11975040}+...$

だと言うことが分かります。

Maxima Manual: 級数

質問＜３６５２＞２００７／１２／１０ from=あき「Ｍａｘｉｍａソフトを使ったグラフの作成について」

私は質問３１９８に載っていた、Ｍａｘｉｍａソフトを使ったグラフの作成に
非常に興味を持って、もっと色々な種類のグラフを作ってみたいと思ったのです。
しかし、媒介変数であらわされたグラフ、例えば、正葉曲線、カージオイド等の
グラフの作り方がどうしてもわからないのです。
どのようにすればいいのか教えて頂けませんか？
あとできれば、楕円も御願いします。

★希望★完全解答★

Maximaでは基本的にはココに書いてあるとおり、オプション類を弄くって極形式 (polar form)、ないしは媒介変数表示(parametric)の数式を描画します。

正葉曲線の描画の仕方:

	ここでは例として $r=\sin{2\theta}$ で描かれる正葉曲線を取り上げる。 Expression(s):にsin(2theta)と入力、Variable:でthetaの範囲を0〜2%piと指定する。後は、Options:でset polar; set zeroaxis;を選択すれば良い。
	上の入力で作図した正葉曲線の例。このようにr＝sin(nθ)のnの値を変更していけば様々な正葉曲線が描画出来る。

カージオイドの描画の仕方:

	ここでは例として $r=1+\cos{\theta}$ で描かれるカージオイドを取り上げる。 Expression(s):に1+cos(theta)と入力、Variable:でthetaの範囲を0〜2*%piと指定する。後は、Options:でset polar; set zeroaxis;を選択すれば良い。
	上の入力で作図したカージオイドの例。このようにr＝a(1＋cosθ)のaの値を変更していけば様々なカージオイドが描画出来る。

楕円の描画の仕方:

	ここでは例として $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ で描かれる楕円を取り上げる。 Expression(s):の横の[Special]ボタンで[Parametric plot]を選択、xの欄に5cos(t)と入力、yの欄に4sin(t)と入力する。Variable:でtの変位を0〜2*%piと指定する。あとは[OK]ボタンを押して進めば良い。
	上の入力で作図した楕円の例。

Maxima Manual: グラフ表示

質問＜３６５１＞２００７／１２／９from=ゆき「積分」

問題文を読んで図を描いてみたのですが、今ひとつしっくりこなくて…
宜しくお願いいたします。

原点Ｏを中心とする半径ａの円に糸がまきつけられていて、
糸の端は点Ａ（ａ，０）にあり、反時計回りにほどける。
いま、糸をたわむことなくほどいていき、その糸と円の接点をＲとし、
∠ＡＯＲ＝θ（０≦θ≦２π）とする。
更に、ほどかれた糸の端の座標をＰ（ｘ，ｙ）とする。

ｘとｙをθの関数で表せ。

第一象限にあるＰの軌跡と円および直線ｙ＝ａで囲まれる部分の面積を求めよ。

★希望★完全解答★

クソややこしそうな問題ですね(笑)。
僕も図描いてみようかな、と思ったんですがメンド臭いんで止めます(笑)。
ええと、いくつか分かっている条件を列挙してみましょうか。

糸をたわむことなくほどく→と言う事は糸は円への接線となり、∠PROは常に90度である。

ほどかれた糸の長さはaθとなる。

条件1により、三角形PROは直角三角形となる。

直角三角形PROの底辺ROは円の半径に等しくa、辺PRの長さはaθ、そして斜辺の長さは $a\sqrt{1+\theta^2}$ である。

∠POA＝α、∠ROP＝βとすると、θ＝α＋βの関係を満たしている。

こんなトコロでしょうか?
まあ、上の条件を自分でした作図にでも書き込んでおいてください。
では見ていってみます。

ｘとｙをθの関数で表せ。

ここで、直線POの長さはと分かっているので、∠POA＝αを利用すると、x、yの座標は、
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\cos{\alpha}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\sin{\alpha}$
と書き表せます。
ここで、θ＝α＋βと言う条件を用いると、
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\cos{(\theta -\beta)}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\sin{(\theta -\beta)}$
なので、加法定理を用いて
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\left{\cos{\theta}\cos{\beta} +\sin{\theta}\sin{\beta}\right}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\left{\sin{\theta}\cos{\beta} -\cos{\theta}\sin{\beta}\right}$
と書き換えます。
ここで、三角形PROは直角三角形なのを考慮すると、
- $\cos{\beta}=\frac{a}{a\sqrt{1+\theta^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}$
- $\sin{\beta}=\frac{a\theta}{a\sqrt{1+\theta^2}}=\frac{\theta}{\sqrt{1+\theta^2}}$
なので、それぞれx、yに代入して整理すると、
- $x=a(\cos{\theta} +\theta\sin{\theta})$
- $y=a(\sin{\theta} -\theta\cos{\theta})$
となります。

第一象限にあるＰの軌跡と円および直線ｙ＝ａで囲まれる部分の面積を求めよ。

これは馬鹿正直に面積Iを積分を利用して計算すると、糸の端の軌跡P(x,y)と直線ｙ＝ａの交点のx座標をLとすれば、

$I=\int_0^L a dx - \int_0^a \sqrt{a^2 -x^2} dx -\int_a^L P(x, y) dx$

となるんですが、実際問題、 $0\le x\le a$ の範囲では単純に正方形の面積 $a^2$ から $\frac{1}{4}$ 円の面積 $\frac{\pi a^2}{4}$ を引けば良く、 $a\le x \le L$ の範囲では長方形の面積 $a(L-a)$ から $\int_a^L P(x,y) dx$ を引けばいいだけです。
すなわち、

$I=\frac{(4-\pi)a^2}{4}+a(L-a)-\int_a^L P(x,y) dx$

となり、事実上 $\int_a^L P(x, y) dx$ だけを計算すれば良い事になります。
では $\int_a^L P(x,y) dx$ をどうやって計算しようか、と言う話になるんですが、実際問題これは円の面積の計算方法と同じです。
一般に円の面積計算では

$\int_0^r \sqrt{r^2 -x^2} dx$

と置いて、これを媒介変数(角度)を介して変数変換して積分するんですが、一方、 $\int_a^L P(x,y) dx$ の計算の場合は径が定数ではなく、角度の関数だ、って事だけが違うのです。あとは全部同じですね。
すなわち、

$\int_a^L y dx$

を角度を媒介変数として積分すればよく、また、1.でxの中身もyの中身も分かっています。
変数変換の為にまずはxを微分すると、

$dx=a\theta\cos{\theta} d\theta$

となり、これを利用して、

$\int_0^\phi a(\sin{\theta}-\theta\cos{\theta})\times a\theta\cos{\theta} d\theta$

$=a^2\int_0^\phi (\sin{\theta}-\theta\cos{\theta})\theta\cos{\theta} d\theta$

を計算すればいいです。
まあ、考え方さえ分かれば後は単なる計算問題ですし、メンド臭いんで、ここからはMaximaを用いて定積分してみます(Maximaによる積分の方法はココを参照の事)。

	まずはMaximaを起動する。
	数式を入力して定積分する。なお、積分範囲は0〜 $\pi/2$ となる。と言うのも、P(a,0)は $\theta=0$ の時でP(L,a)は $\theta=\frac{\pi}{2}$ の時だから。つまり、第一象限と言う条件を考慮すると、 $\theta= \frac{\pi}{2}$ の時P(x,y)の高さがaとなり、P(x,y)はy=aと交点を持つ。
	解が表示される。解は $-\frac{(\pi^3 -12\pi)a^2}{48}$ との事。