質問＜３７２１＞２００８／５／５ from=ココナッツ 「積分」

を積分せよ。

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

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確かに見た目トリッキーではあるんですが……。
ハッキリ言うと、この程度のレベルの単なる計算問題と言うのは、マトモな教科書使っていれば例題で解き方示唆してるハズなんですよ。万が一、解き方が書いてないんだったらそれはマトモな教科書ではないって事です。今すぐ使用している教科書を止めて別の教科書を入手した方が良いでしょう。
とは言っても、図書館行って教科書借りてくるのも良いでしょうし(実際、市立図書館レベルでも大学で使用するような教科書は蔵書に入ってたりします)、別に新品じゃなくって古本程度で事足りるんです。東京だったら神保町辺りまで出かければ新古商品の教科書を安く買えるでしょうし、また書籍の価値に無頓着なBOOK OFFだったら下手すれば500円くらいで良い教科書が手に入る場合もあります(BOOK OFFは大体どこでも盛況なんですが、みんなマンガコーナーでの立ち読みに熱中し過ぎて良書の存在を見落としてるケースが多いです)。また、Amazonを利用するのも良いでしょう。書評を調べるなり、現物を手に取って見るなりして下さい。自分の程度に合った分かりやすい教科書は意外に色々とあるモノなんです。
いずれにせよ、この程度の計算問題は、微分積分を習っている時点で出来て当たり前なんです。ホントですよ。

まずはMaximaをダウンロードして答えが実際にどうなるのか見てみてください。積分の方法はコチラに書いてあります。一回Maximaで積分してどんな数式になるのか見てみましょう。多分見た目凄い式が出てくる筈です。で、どうしてそんな解が求まるのか、暫く考えてみましょう。

この積分は与式を部分分数(partial fraction)に変換してから解く、と言うのがポイントです。そのテクニックは下手すれば、理系の高校生だったら、高校の数学III・Cの範囲で勉強しているかもしれません。少なくとも亀田が高校生時分ではチャート式や解テク辺りでも取り上げられていたテクニックです。
ここで部分分数への変換もMaximaでやってみます。部分分数のコマンドは


partfrac(部分分数に直したい数式, 変数名)


です。

	Maximaの下段の入力欄に与式を入力する。
	[Enter]キーを叩くとMaximaに与式が認識される。
	Maximaの出力番号%o1を利用して与式の部分分数化を試みる。入力コードは partfrac(%o1, x) となり、これをMaximaの入力欄に入力する。
	[Enter]キーを叩くと出力番号%o1の部分分数解が求まる。

さて、これで得られる与式の部分分数解は以下の通りです。

要するに上の式を教科書通りにある積分公式を使って積分すれば、Maximaで直接積分した値と同じになります。そこはご自分でやってみてください。
また、上の式を元の式に戻す事もやってみてください。これも計算練習です。そして、単純に言うと、その逆作業が部分分数を作り出す方法となります。これも基本テクニックなので、練習しておいた方が良いでしょう。
(そしてそれもマトモな教科書だったらフツーに載ってる方法なんで、ここでは説明しません。)

以上です。




微分積分いい気分♥