質問＜３７１７＞２００８／５／２ from=cucumber 「√が入った２次式の最小値」

xが実数全体を動くときの

の最小値を求めよ。
という問題がどうしても解けません。
お手数ですが、ご指導をお願いします。

★希望★完全解答★

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取りあえず、グラフを描いて概要を見てみる、ってのが一番でしょうね。



ふうむ、なるほど、こうなっているらしい、と。
んで、色々方法があるとは思いますが、ここでは愚直に素直に微分してみましょう。

つまり、の時、が極値を取る、と言う事だけは分かるワケです。まあ、これは良いですよね。
条件的には、

となりますね。この時点で、各項の分母は絶対0になりようがない、って事は一応留意しておいてください。
んでまあ、上の式を解くのが少々メンド臭そうなんですが、ここでは、とでもしてみて、

として見てみます。
上の式は

なんで、取りあえず両辺二乗してみます。

整理すると、

となります。すなわち、

ですね。
ただし、これらから求まるxの値はあくまでとするxの候補です。
と言うのも、これらを求める為に計算途中で与式を二乗する、と言うような怪しい操作をしてるんで、二乗した関数には適合する解かもしれませんが、二乗する以前の元の関数自体にマッチした解なのか保証の限りではないんです。
また、最初のグラフでも最小値がありそうだ、と言う事は言えますが、上の式の解のどっちが適合しそうにないか、薄々分かるでしょう(これがグラフを最初に描いておく利点です)。
実際、に代入してみると、

• →適合しない!!!


• →適合!!!

となり、が求めるべきxの値だ、と言うことが分かります。
故に、

となります。

まあ、自習としては二階の導関数を求めて、関数の増減を調べてみてもよいでしょう(※)。

以上です。

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※:最初にグラフを描く、と言うのは実は逆作業だったりする。
と言うのも、微分法の一つの意味としてはグラフを作ったり、関数の概要を知る為の技術だと言うのがあって、逆に言うと、先にコンピュータでグラフを作れちゃうのだったら、微分をする意味が半分は無くなってしまうのである。残るは計算練習の為だけ、になってしまいかねない。
しかしながら、あくまで勉強法、としてだけ考えたら何でもアリ、ってのも事実で、先に答えを知ってから筋道を逆に辿っていく、と言うのは有用だろう。
21世紀の日本の現代文明がありがたいのは、正攻法以外に他方向から問題を攻めて行け、勘を養える辺りなのだと思う。これはコンピュータを持たなかった、高々数十年前以前には考えられなかった状況なのである。
道具の進歩により、数学の勉強は明らかに数十年前よりやり易くはなっている。

質問＜３６９９＞