高校数学の窓LaTeX版: 図形

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質問＜３６９０＞２００８／２／２７ from=かもめ「多角形の内角」

これは、「Yahoo！知恵袋」に投稿されていた質問です。
「現在中３なんですが、正ｎ角形の内角の和は１８０（ｎ−２）°だと習いました。
その式にあてはめると正１００角形、正１０００角形と角の数がたくさんになると
その内角は限りなく１８０°に近づいていくと思います。しかし角の数を増やしていくと
最終的には円という形になっていくと思うのですが、
そもそも内角が１８０°の円の形の図形なんてものはありうるのでしょうか？
また、円の内角は１８０°なんですか？
うまく説明ができませんが、僕を納得さしてください。」
「内角は１８０°」というのは、ひとつの内角が１８０°と言う意味です。
しかし、質問者が中学生なので、回答者もうまく回答ができなかったようです。
僕も、この質問が気になるので、高校レベルの数学で、解説をお願いします。

★希望★完全解答★

僕もYahoo！知恵袋見ましたが、大変良い回答が集まってると思いますよ。
まあ、あれ以上の回答となれば難しいんじゃないんですか?多分。

問題は、

その式にあてはめると正１００角形、正１０００角形と角の数がたくさんになるとその(一つの)内角は限りなく１８０°に近づいていくと思います。

と言う一文です。これは正しい。間違いありません。
ただし、勘違いしてほしくないのは、「180°に近づいていく」≠「180°である」と言うことです。
確かに、現実的な感覚では「超多角形は円に近づいていくだろうしそんな物体は(技術的に)作れないだろうから、円盤になっちゃうだろうな」と言うのは正しいです。しかしながら「正しい日常感覚は常に数学的感覚を代弁しているワケではない」って事なんですよ。ここを勘違いすればダメなんです。
数学が問題にしているのは、あくまで「数学的抽象性だけ」なのです。

ちょっと別の例を挙げましょう。
良く、面白い例として挙げられるのは物理学の基本的な概念、速度ですね。
速度 $\vec{v}$ は微分公式を用いて、位置の変位を $\vec{x}$ 、経過時間をtとして次のように「古典力学では」表現されます。

$\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}$

では、ここで、議論をシンプルにする為、変位 $\vec{x}$ に着目してみます。一体ここで議論されている微小変位 $d\vec{x}$ とは一体何なのか?「距離を限りなく小さくしていって」「変位を0に近づけて行って」一体どうなるんでしょうね?
「移動距離(変位)」 $\vec{x}$ が微分可能である数学的な大前提は関数 $\vec{x(t)}$ が「連続である」と言う事です。
まあ、物体が宇宙戦艦ヤマト

みたいに「ワープして」地点Aから地点Bへいきなり移動する、って事はあり得ないワケですから、「自然と」この関数 $\vec{x(t)}$ は「滑らかである」と言う条件を満たしています。
と言うことは数学的操作により微小変化 $d\vec{x}$ は実際観察できそうに思えるんですが、それがそうは問屋が卸しません。僕等の日常の感覚的視点では「物体が術らかな経路で移動している」ように見えても、経路を拡大していくと、「滑らかな」と言う前提は崩れ去っていくのです。一般的に原子くらいに小さい粒子は「色んなモノにぶつかって」ギザギザに見える経路を辿ります。ちっとも「滑らか」じゃありません。従って微視的観点で滑らかじゃない以上、 $d\vec{x}$ なんて計算は成り立ちませんし、数学的概念を「そのまま」現実の世界に持ち込んでも上手く行かないって事ですね。
では数学はやっぱり役に立たないし間違っているのか?と言うとこれは愚問になるでしょう。そうじゃなくって、「(僕等が見ている範囲での)現実を数学的抽象力で如何にモデル化してるのか?」と言うのが本当のトコなんです。数学は「説明を上手く展開する為の」道具であって、必ずしも「数学自身が」「全ての現実」を上手く説明するワケではないんです。また、それは数学の目的でも範疇でもありません。
いわば抽象力が数学の本質的な部分であって、あくまで「概念的操作」を提供するツールなのです。上の例も「物理の世界では数学の微分が破綻している」と言うような話ではなくって、「物理でも適所に適した数学を適用しなければならない」だけです。微小世界では「また別の数学を」持ち込めばいい、と言うだけの話なのです。

では元の議題に戻ると、

その式にあてはめると正１００角形、正１０００角形と角の数がたくさんになるとその(一つの)内角は限りなく１８０°に近づいていくと思います。

と言う一文は数学的には

$\lim_{n \to \infty}\frac{180\times (n-2)}{n}$

と書き表せます。
上記の式を実際Maximaででも計算してみたら分かりますが、

確かに

$\lim_{n\to\infty}\frac{180\times (n-2)}{n}=180$

です。
ただし、上記の式の意味も

nが限りなく大きくなっていくと $\frac{180\times (n-2)}{n}$ は180に限りなく近づいていく

と言ってるだけで、

nが限りなく大きくなっていくと $\frac{180\times (n-2)}{n}$ は180になる

と言ってるワケではありません。この2つの文(ないしは文意)を混同すればダメだ、と言うことです。前者は数学ですが、後者は「日常感覚的なモノ」であって数学ではありません。

そもそも内角が１８０°の円の形の図形なんてものはありうるのでしょうか？

あり得ません。
まあ、一応円の定義をWikipedia辺りから引っ張ってきますが、そこにはこう書かれています。

数学において、円（えん）とは、平面（2次元ユークリッド空間）上の、ある点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線のことをいう。

角度がどうの、って考える以前に多角形の定義を見ると、

多角形（たかっけい、たかくけい）とは平面上の閉じた単純折れ線、および平面上の閉じた単純折れ線によって囲まれた図形を指す。

ここで

折れ線とは複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできる曲線を言う。

曲線が単純であるとは、曲線が(端点以外では)自己交差しない事を言う。

曲線が閉じているとは、長さが有限で端点を持たない事を言う。(厳密にいうと、さらにコンパクトでなければならない)。

と書かれていますね。
ここで、

数学においては、曲線にはその特別な場合として直線や線分の概念を含む。

そうですが、「単純折れ線によって囲まれた図形」である多角形と「ある点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線」である円は定義上折り合いません。多角形が円を含む構図も考えられませんし、逆もまたそうですね。要するに、定義が相反してると言う事です。
いつも言ってますが、数学は定義からスタートするモノであって定義が食い違えば全ての議論は意味が無いのです。ここでも「nが大きくなった多角形は円に限りなく近づいていく」と言うことは出来ますが「円そのものになる」と言う事が定義上あり得ない、って事が分かるでしょう。つまり、数学的な概念上は、例え実作業で作図が難しいにせよ、正1,000角形は正1,000角形ですし、正10，000角形は正10,000角形以外の何者でもないんです。
(ちなみに、Wikipediaで見つけたんですが、理論的にはコンパスと定規だけで、正６５,５３７角形を描けるそうです・笑。当然これは円の作図そのものではありませんね。)

まあ、そんなワケで、むしろ「高校レベルで」と言うのなら、「近づく」はあくまで「近づく」である、って事を理解しておく程度でいいのではないでしょうか?同一視しちゃダメだ、と言う事です。
例えると、いくらIKKOが「綺麗に化粧しても」女性に近づいて行く、とは言えますが、「女性そのものになる事は無い」って事と同じです(違うか・笑)。

以上です。

質問＜３６６４＞２００８／１／８ from=みのる「内接する円を持つ四角形」

内接する円を持つ四角形ＡＢＣＤがある。
ＡＢ＝５，ＢＣ＝９、ＣＤ＝１０の時ＤＡの
長さを求めよ。
過去問かもしれませんが見つからないので
ご指導願います。

★希望★完全解答★

まあ、見つからないでしょうねえ。
なんせこれは中学校の数学ですから。

亀田自身はあんま幾何学って好きじゃないんですが、基本、中学校で習う図形の証明では

直角三角形の合同条件

ってのがあります。

斜辺と他の一辺が同じ長さの2つの直角三角形は合同である

とか言うアレですね。この問題もそれ一本槍でしょう。

もう図も描くのがメンド臭いので、文章で説明しますが、

内接してる円の中心をOとする。

辺ABと円が接している点をXとする。

辺BCと円が接している点をYとする。

辺CDと円が接している点をZとする。

辺DAと円が接している点をWとする。

とします。適当に描いた図に上の条件を書き込んで下さい。
そしておさえておかなければならない点は、「円の接線と径の成す角度は直角である」と言う事。
そうすると、例えば、隣り合った三角形AOXと三角形AOWの二つを考えると、

二つの三角形は斜辺AOは共通である。

辺OXも辺OWも円の半径なので同じ長さである。

なので、この二つの三角形は合同です。
同様の論理で、三角形BOXと三角形BOY、三角形COYと三角形COZ、三角形DOZと三角形DOWはそれぞれ合同です。
さて、ここで適当に、 $\bar{AX}=n$ とでも置いてみれば、

$\bar{BX}=\bar{BY}=5-n$

$\bar{CY}=\bar{CZ}=9-(5-n)$

$\bar{DZ}=\bar{DW}=10-\left{ 9-(5-n) \right}$

と芋づる式にそれぞれの辺の長さを定義出来ます。
ここで $\bar{AX}=\bar{AW}=n$ を考慮すると、

$\bar{AD}=\bar{AW}+\bar{DW}=n+10-\left{ 9-(5-n)\right}$

って事です。

ちょっと苦言を言いますが、みのるさんの問題の投稿みる限り「レベルがバラバラで」全く基礎が出来てないんじゃないか、と思います。しかも殆ど教科書読んでませんよね?
逆に言うと「背伸びした問題」ばっかやってるような・・・・・(だからこう言う「中学校の問題」を送ってくるようなハメになるのです)。
もうちょっとご自分の程度に見合った「地に足が付いた」レベルの問題やった方がイイですよ。中学校の数学の問題解けないのに他の高度な数学の問題に手を出す、ってのは常識的に考えると全くの「論外」です。従って、教科書に書かれてある筈の積分の基礎問題が全く解けない、とか言うのも当たり前、と言えば当たり前、です(ましてや、ここで解説されても分からないでしょう)。
勉強の仕方を間違えてませんか?

質問＜３６６０＞２００７／１２／２９ from=A.T. 「最大値を求める問題」

次の問題を解いてください。
お願いします。
平面上において, $AB=AC$ の2等辺3角形ABCがあり, 辺BCの中点
をMとするとき, $AM=\sqrt{3}$ , $BM=a$ $(a>0)$ である.
辺BC上に $PQ=a$ をみたす2点P,Qをとるとき,
$(\frac{1}{AP})^2 + (\frac{1}{AQ})^2$
の最大値を求めよ.

★希望★完全解答★

まあ、色々解き方はあるとは思うんですが……。

基本的に僕は幾何学大っ嫌いなんで(ヲイ・笑)、解析的アプローチを企ててみます。

要するに、直角三角形APMと直角三角形AQMの二つがあって、その斜辺APとAQの長さがどうなるのか、って事ですよね。二等辺三角形ABCは全く関係がないワケです(笑)。
ここで、 $\bar{QM}=x$ とすれば条件により $\bar{PM}=a-x$ となる。
従って、3平方の定理により、

$\bar{AP}=3+(a-x)^2$
$\bar{AQ}=3+x^2$

となります。
と言うことは、関数f(x)が

$f(x)=\left(\frac{1}{\bar{AP}}\right)^2+\left(\frac{1}{\bar{AQ}}\right)^2=\left(\frac{1}{3+(a-x)^2}\right)^2+\left(\frac{1}{3+x^2}\right)^2$

と書き表される時、f(x)の最大値は何か?と言う事ですよね?
もうこうなれば微分しか無いです(笑)。微分してf(x)の増減を調べれば一丁上がり、です。

微分に自信がなければ教科書か、ないしはMaximaの項を参照して下さい。

ちなみに答えは $\frac{32}{(a^2+12)^2}$ となるようです。

以上です。

質問＜３６５９＞２００７／１２／２８ from=六甲「大学の課題です」

大学の提出課題なのですが、しばらく数学から離れていたため
全くわからなくなってしまい困っています。
どなたか解き方のみでもよいので教えてください。
よろしくお願いします。

周囲の長さがＬ（一定）の扇形のうち面積が最も大きいものの中心角の大きさを求めなさい。

曲線 $y=-x^2+4x$ とｘ軸とに囲まれた面積がｙ＝ａｘによって二等分されるときａの値を求めなさい。

です。ほかの問題はどうにかこなしたんですが、

この２問だけが自分では全く見当もつきませんでした・・・
どなたか本当によろしくお願いします。

★希望★完全解答★

周囲の長さがＬ（一定）の扇形のうち面積が最も大きいものの中心角の大きさを求めなさい。

微分の問題。
円の面積公式が $\pi r^2$ であることから角度を $\theta$ とすると、扇形の面積は $\frac{1}{2} r^2\theta$ であることは充分推察出来る。
従って、取りあえず扇形の面積を

$I=\frac{1}{2} r^2 \theta$

と置いてみる。
次に、周囲の長さがLと言う条件から、半径rとLの関係を考えてみる。
円周lは一般に

$l=r\theta$

の関係を満たすので、半径rとLの関係は

$L=2r+l$

と記述でき、従って、半径rは

$r=\frac{L}{2+\theta}$

と $\theta$ の関数となる。
上式rをIに代入して整理すると、

$I=\frac{1}{2}\left(\frac{L}{2+\theta}\right)^2\theta$

が求める面積の式となる。
あとは $\theta$ に関して上式を微分し、面積の増減を調べてみれば良い。
なお、微分に関して自信が無かったら教科書かMaximaの項を参照。

曲線 $y=-x^2+4x$ とｘ軸とに囲まれた面積がｙ＝ａｘによって二等分されるときａの値を求めなさい。

積分の問題。
まずは題意の $y=-x^2+4x$ のグラフを描いてみる。

まずはこのグラフの面積を知らなければ話にならない。
$y=-x^2+4x$ とx軸に囲まれた面積をIとすると、x軸との交点を考慮して、

$I=\int_0^4\left( -x^2+4x\right) dx$

が面積となる。
積分に自信が無い場合は、教科書かMaximaの項を参照。
次に上のグラフに適当な直線、y=axを通した時、 $y=-x^2+4x$ とy=axに囲まれた面積Aが上で求めたIの $\frac{1}{2}$ になれば題意が満たされる。

適当に直線を引いた例

一般に、グラフの上部にある関数をf(x)、グラフの下部にある関数をg(x)とすると、f(x)とg(x)に囲まれた部分の面積Aは、s、t、を二つの関数の交点とすると、

$A=\int_s^t\left( f(x)-g(x)\right) dx$

で記述出来る。
この論理を題意のケースに当てはめると、 $y=-x^2+4x$ とy=axに囲まれる面積Aは

$A=\int_0^{4-a}\left( -x^2+4x-ax\right) dx$

と記述でき、 $A=\frac{1}{2} I$ を満たすようにaの値を定めれば良い。