質問＜３６５９＞２００７／１２／２８ from=六甲 「大学の課題です」

大学の提出課題なのですが、しばらく数学から離れていたため
全くわからなくなってしまい困っています。
どなたか解き方のみでもよいので教えてください。
よろしくお願いします。

1. 周囲の長さがＬ（一定）の扇形のうち面積が最も大きいものの中心角の大きさを求めなさい。


2. 曲線とｘ軸とに囲まれた面積がｙ＝ａｘによって二等分されるときａの値を求めなさい。

です。ほかの問題はどうにかこなしたんですが、

この２問だけが自分では全く見当もつきませんでした・・・
どなたか本当によろしくお願いします。

★希望★完全解答★

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1. 周囲の長さがＬ（一定）の扇形のうち面積が最も大きいものの中心角の大きさを求めなさい。

   
   
   微分の問題。
   円の面積公式がであることから角度をとすると、扇形の面積はであることは充分推察出来る。
   従って、取りあえず扇形の面積を
   

   
   
   

   
   と置いてみる。
   次に、周囲の長さがLと言う条件から、半径rとLの関係を考えてみる。
   円周lは一般に
   

   
   
   

   
   の関係を満たすので、半径rとLの関係は
   

   
   
   

   
   と記述でき、従って、半径rは
   

   
   
   

   
   との関数となる。
   上式rをIに代入して整理すると、
   

   
   
   

   
   が求める面積の式となる。
   あとはに関して上式を微分し、面積の増減を調べてみれば良い。
   なお、微分に関して自信が無かったら教科書かMaximaの項を参照。




2. 曲線とｘ軸とに囲まれた面積がｙ＝ａｘによって二等分されるときａの値を求めなさい。

   
   積分の問題。
   まずは題意ののグラフを描いてみる。
   
   
   まずはこのグラフの面積を知らなければ話にならない。
   とx軸に囲まれた面積をIとすると、x軸との交点を考慮して、
   

   
   
   

   
   が面積となる。
   積分に自信が無い場合は、教科書かMaximaの項を参照。
   次に上のグラフに適当な直線、y=axを通した時、とy=axに囲まれた面積Aが上で求めたIのになれば題意が満たされる。
   
   
   
   
   

   適当に直線を引いた例

   
   
   一般に、グラフの上部にある関数をf(x)、グラフの下部にある関数をg(x)とすると、f(x)とg(x)に囲まれた部分の面積Aは、s、t、を二つの関数の交点とすると、
   

   
   
   

   
   
   で記述出来る。
   この論理を題意のケースに当てはめると、とy=axに囲まれる面積Aは
   

   
   
   

   
   と記述でき、を満たすようにaの値を定めれば良い。

以上。