高校数学の窓LaTeX版: 質問＜３６５１＞２００７／１２／９from=ゆき「積分」

問題文を読んで図を描いてみたのですが、今ひとつしっくりこなくて…
宜しくお願いいたします。

原点Ｏを中心とする半径ａの円に糸がまきつけられていて、
糸の端は点Ａ（ａ，０）にあり、反時計回りにほどける。
いま、糸をたわむことなくほどいていき、その糸と円の接点をＲとし、
∠ＡＯＲ＝θ（０≦θ≦２π）とする。
更に、ほどかれた糸の端の座標をＰ（ｘ，ｙ）とする。

ｘとｙをθの関数で表せ。

第一象限にあるＰの軌跡と円および直線ｙ＝ａで囲まれる部分の面積を求めよ。

★希望★完全解答★

クソややこしそうな問題ですね(笑)。
僕も図描いてみようかな、と思ったんですがメンド臭いんで止めます(笑)。
ええと、いくつか分かっている条件を列挙してみましょうか。

糸をたわむことなくほどく→と言う事は糸は円への接線となり、∠PROは常に90度である。

ほどかれた糸の長さはaθとなる。

条件1により、三角形PROは直角三角形となる。

直角三角形PROの底辺ROは円の半径に等しくa、辺PRの長さはaθ、そして斜辺の長さは $a\sqrt{1+\theta^2}$ である。

∠POA＝α、∠ROP＝βとすると、θ＝α＋βの関係を満たしている。

こんなトコロでしょうか?
まあ、上の条件を自分でした作図にでも書き込んでおいてください。
では見ていってみます。

ｘとｙをθの関数で表せ。

ここで、直線POの長さはと分かっているので、∠POA＝αを利用すると、x、yの座標は、
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\cos{\alpha}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\sin{\alpha}$
と書き表せます。
ここで、θ＝α＋βと言う条件を用いると、
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\cos{(\theta -\beta)}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\sin{(\theta -\beta)}$
なので、加法定理を用いて
- $x=a\sqrt{1+\theta^2}\left{\cos{\theta}\cos{\beta} +\sin{\theta}\sin{\beta}\right}$
- $y=a\sqrt{1+\theta^2}\left{\sin{\theta}\cos{\beta} -\cos{\theta}\sin{\beta}\right}$
と書き換えます。
ここで、三角形PROは直角三角形なのを考慮すると、
- $\cos{\beta}=\frac{a}{a\sqrt{1+\theta^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}$
- $\sin{\beta}=\frac{a\theta}{a\sqrt{1+\theta^2}}=\frac{\theta}{\sqrt{1+\theta^2}}$
なので、それぞれx、yに代入して整理すると、
- $x=a(\cos{\theta} +\theta\sin{\theta})$
- $y=a(\sin{\theta} -\theta\cos{\theta})$
となります。

第一象限にあるＰの軌跡と円および直線ｙ＝ａで囲まれる部分の面積を求めよ。

これは馬鹿正直に面積Iを積分を利用して計算すると、糸の端の軌跡P(x,y)と直線ｙ＝ａの交点のx座標をLとすれば、

$I=\int_0^L a dx - \int_0^a \sqrt{a^2 -x^2} dx -\int_a^L P(x, y) dx$

となるんですが、実際問題、 $0\le x\le a$ の範囲では単純に正方形の面積 $a^2$ から $\frac{1}{4}$ 円の面積 $\frac{\pi a^2}{4}$ を引けば良く、 $a\le x \le L$ の範囲では長方形の面積 $a(L-a)$ から $\int_a^L P(x,y) dx$ を引けばいいだけです。
すなわち、

$I=\frac{(4-\pi)a^2}{4}+a(L-a)-\int_a^L P(x,y) dx$

となり、事実上 $\int_a^L P(x, y) dx$ だけを計算すれば良い事になります。
では $\int_a^L P(x,y) dx$ をどうやって計算しようか、と言う話になるんですが、実際問題これは円の面積の計算方法と同じです。
一般に円の面積計算では

$\int_0^r \sqrt{r^2 -x^2} dx$

と置いて、これを媒介変数(角度)を介して変数変換して積分するんですが、一方、 $\int_a^L P(x,y) dx$ の計算の場合は径が定数ではなく、角度の関数だ、って事だけが違うのです。あとは全部同じですね。
すなわち、

$\int_a^L y dx$

を角度を媒介変数として積分すればよく、また、1.でxの中身もyの中身も分かっています。
変数変換の為にまずはxを微分すると、

$dx=a\theta\cos{\theta} d\theta$

となり、これを利用して、

$\int_0^\phi a(\sin{\theta}-\theta\cos{\theta})\times a\theta\cos{\theta} d\theta$

$=a^2\int_0^\phi (\sin{\theta}-\theta\cos{\theta})\theta\cos{\theta} d\theta$

を計算すればいいです。
まあ、考え方さえ分かれば後は単なる計算問題ですし、メンド臭いんで、ここからはMaximaを用いて定積分してみます(Maximaによる積分の方法はココを参照の事)。

	まずはMaximaを起動する。
	数式を入力して定積分する。なお、積分範囲は0〜 $\pi/2$ となる。と言うのも、P(a,0)は $\theta=0$ の時でP(L,a)は $\theta=\frac{\pi}{2}$ の時だから。つまり、第一象限と言う条件を考慮すると、 $\theta= \frac{\pi}{2}$ の時P(x,y)の高さがaとなり、P(x,y)はy=aと交点を持つ。
	解が表示される。解は $-\frac{(\pi^3 -12\pi)a^2}{48}$ との事。