高校数学の窓LaTeX版: 質問＜３６６１＞２００７／１２／２９ from=たかし「連続関数」

$f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ は（−∞、＋∞）で、狭義の単調増加な連続関数であることを示せ。
次に、この関数の逆関数を求めよ。

★希望★完全解答★

$a\le x_1 < x_2\le b$ の任意の $x_1$ 、 $x_2$ をとると，平均値の定理から

$f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f^{\prime}(c)$ 　 $(x_1\le c\le x_2)$

ここで、与式の微分は常に $f^{\prime} (x) \ge 0$ なので $f(x_1) < f(x_2)$ となる。
すなわち， $f(x)$ は $(-\infty, \infty)$ で狭義の単調増加関数である．

意地悪い言い方をすれば、与式は

$\sinh{x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

として定義されている(→双曲線関数を参照)ので、逆関数は単に

$y=\sinh^{-1}{x}$

となる。
もうちょっと親切に書くと

$y=\log{(x+\sqrt{x^2+1})}$

の事。
なお、求め方は逆双曲線関数の項を参照の事。

以上。

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