高校数学の窓LaTeX版: 質問＜３６２５＞２００７／１０／１２ from=Elysion 「円に内接するn角形」

「円に内接するｎ角形の中で、面積が最大となるものを求めなさい」

　くわしい解答をしていただけたら、嬉しいです。　よろしくお願いします
　
★希望★完全解答★

思いっきり既出問題です・・・・・・。

と突っぱねたいトコロなんですが、参考となる回答である質問＜3574＞が思いっきり読みづらいんですよね(苦笑)。
TeX記法はイイんですが、プレインテキストでこれはちょっと読めませんね(苦笑)。
よってここで再録しておきます。TeXで変換すると次のようになります。
以下は2007年6月２８日に投稿されたJUN*2さんの質問に対するtoshiさんの投稿/回答です。

質問＜３５７４＞２００７／６／２８
from=JUN*2
「図形」

次の問題についてお尋ねします。

円に内接する三角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。

円に内接する四角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。

円に内接するn角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。

正多角形になるのはなんとなくわかりますが、どう式にかけばいいのかわかりません。
よろしくお願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／８／２１
from=toshi

まず、条件付極値の知識を持っているとして説明させていただきます。

円の半径を適当に取ることによって、内接する三角形の面積Sは

$S=\sin { \alpha } + \sin{ \beta } + \sin{ \gamma}$

とかける。ここで三角形である条件から、

$\alpha + \beta + \gamma - \pi = 0$

よって、ラグランジュの未定乗数法から

$S^{\prime }( \alpha , \beta , \gamma , \lambda ) = \sin { \alpha } + \sin{ \beta } + \sin{ \gamma} - \lambda (\alpha + \beta + \gamma -\pi)$

の最大値をもとめる問題と同等になる。

これから、

$\sin { \alpha } =\sin { \beta } =\sin { \gamma } = \lambda$

となる。

よって、 $\alpha = \beta = \gamma$ と求まる。

∵　 $\alpha < \pi$