質問＜３５８９＞２００７／８／１８ from=Nonon 「自然対数の極限」

　が分りません。教えてください。

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ああそうですか。僕も分かりません(笑)。
そこで、正確な回答方法は他の数学の得意な人にお任せするとして(人任せ・笑)、ここではワンパターンですが、コンピュータを使って解いてみることにします。
Maxima(Windows版)と言うフリーの数式処理ソフトを使う事とします。詳しいインストール方法はココとかココに記載してあります(あとでまとめた方がイイかな?)。お金は一切かからないので、安心してインストールして下さい。

Maximaをインストールして起動すると、次のような状態になります(画面写真はLinuxのモノですが、まあ、Windowsでも似たようなモンです)。


さて、[Did you know...]と書かれたポップアップを閉じてMaximaで問題を解いてみましょう。
ところで、このテの極限値絡みの問題が何と言うジャンルに属するか、と言う話ですが、これも日本語で言うと解析と言うジャンルに属します。微分・積分の仲間なんですね(と言うより、微分・積分自体が極限値で定義されている以上、当たり前と言えば当たり前なんですが)。
解析を英語でCalculusと呼びます。んで、Maxima上部のプルダウンメニュー見ると、キチンと[Calculus]と言うメニューがありますね。


これで一つ分かる事があります。それは微分・積分(解析)関連で困った事があったら、とりあえず[Calculus]のメニューの中を探せ、って事です。普通に問題に突き当たったら、解決方法は大体メニューの中にあるモンなんです(と言うのも、良く使われるからこそ、メニューとしてまとめられているのです)。
では[Calculus]のプルダウンメニューを開いてみましょう。


案の定[Find limit...]と言う項目があります。英語が完全に分からなくても、「これじゃないか?」と言うアタリは付けられるモンなんです。何てったってlimitなんてお馴染みの単語は他にはありませんからね(笑)。
大体、多少間違ったってコンピュータは爆発したりしません(笑)。間違った時は間違った時なんで、安心して色々間違えましょう(笑)。

註:余談ですが、僕の母くらいの年代ですと、ビデオの自動録画のセットにせよ、怖くて出来ない世代です。説明書読んでもチンプンカンプンで、「だって爆発したらどうしよう、とか・・・・・・」とオソロシイ事を言ってたりしました(爆)。大丈夫、ビデオ録画の設定失敗したくらいでビデオデッキは爆発しませんし、そんな設計されているビデオデッキがあったら御目にかかりたいモノです(笑)。もの凄いペナルティですよ(笑)。今現在、江戸時代幕末〜明治初期にかけて「写真を撮られると死ぬ」と言うウワサがあった事は物笑いの種ですが、こうやって見ると、意外にあとで考えると笑っちゃうような「畏れ」ってのはどんな時代の人でも持ってるんだな、と言う事が良く分かります。他人ごとじゃないのです。

さて、[Find limit...]を選ぶと次のようなポップアップが現れます。


内訳を説明しましょう。

• limit of: 極限値を求めたい数式を入力する。


• when variable: 変数を入力します。


• goes to: 変数がどこに近づくのか入力します。デフォルトは0ですが、他の極限(例えば無限大、とか)を入力したい場合は、隣にある[Special]ボタンを押して選択すればイイでしょう。


• from: 極限の問題の場合、数直線上の右側から近づいて行った場合と左側から近づいて行った場合の極限値が違う場合があります。そう言った問題の場合、ここを弄って設定します。今回の問題は関係ないですけどね。デフォルトの[both sides](両側から)で十分です。


• Use Taylor Series: ちょっと見、分からない様な複雑な数式の極限値を求める場合、テイラー展開を利用した方が明解な場合があります。今回は関係無いです。

良く見ると、入力指示が大変簡単な英文になってる事が分かりますね(笑)。

(Get the) limit of f(x), when variable x goes (from A) to B
変数xがAからBへ近づく時、f(x)の極限値を求めよ

このままじゃ高校英語の窓になっちゃいますが(笑)、まあ、そんなに難しい英文では無い、と言う事です(基本的に中学英語のレベルでしょう)。こういう時に英語を使わなければ勿体ないので、臆せず使うようにしましょう。じゃないと、せいぜい将来、フィリピンパブ行った時、フィリピン人女性を口説く時くらいしか使うチャンスが無くなってしまいます(笑)。断言出来ます(いや、ホントマジです・笑)。
では、上の指示に従って、問題文の条件を入力します。


ここまで入力して、[OK]ボタンを押します(infは無限大infinityの事です)。


はい。答えが出てきましたね。答えはのようです。

以上です。

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発想としては、次の事柄に着目して下さい。
定義的には自然対数の底e(ネピア数)は



と書き表せます。ここでs=2nだった場合、当然



となりますね。すなわち、直感的には



が成り立つようです。
そこで、問題文を見ると分かりますが、logの底はeなので、




となり、nがどう変わろうと関係無くなっちゃうようです。
まあ、正確にはどう証明するのか知りませんが(笑)、あとで数学が得意な回答者の御方が何か書いてくれるのではないでしょうか?





Maxima Manual: 極限