質問＜３５９１＞２００７／８／１９ from=YH 「パスカル三角形と文字式に関係している問題」

すみません。はじめて質問します。

中３の宿題問題ですが、どうしてもわかりません。
高校数学ではないので、教えていただけないのかもしれないですが、
お願いします。教えてくださいませんか？

問題１．「マンモスパスカル」を三色で色分けする場合、その規則性を文字式を使って表しなさい。

※この場合、あまりの数が０、１、２で分けようという事までは思いついたのですが、
それを証明する文字式がわかりません。

問題２．「パスカル三角形」の数の並びからきまりを２つ以上みつけて分配法則、多項式を展開して
文字式で説明しなさい。

問題３．（ｘ＋１）の１００乗を文字式を使って展開しなさい。

どれも、パスカル三角形を説明と関係している事はなんとなくわかります。
そして、パスカル三角形の法則も調べてわかるのですが、
自分で文字式で説明できるほどわかってないので、とても困っています。

質問の内容も変かもしれませんが、どうか教えてください。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

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質問の内容も変かもしれませんが、どうか教えてください。

すごく変です(笑)。
何がヘンか、と言うとマンモスパスカルなるモノが何なのかサッパリ見当が付かないんですよ(笑)。何のこっちゃ?

ええと、YHさんはまだ中学生でしょうか?
困るのはこういう定義が全く分からないモノに付いて質問されても何とも答えようが無いんですよ(笑)。
例えばですね、

ほげほげふがに付いて教えてください。

って言われてもどうにも答えようが無いでしょう?一体ほげほげふがとは何の事なのか?
たまにですね、ある一冊の教科書の中だけで通用するような定義を「一般的なモノ」として質問されるケースも見かけるんですが、これじゃあどうにもならない。何故なら、他の人が同じ本を持っている、とは限らないからです。
推測するに、この「マンモスパスカル」の問題の前に「マンモスパスカルとは何なのか?」説明(定義)が書いてあるんじゃないでしょうか?つまり、そこを記述しない限り、レスは付きようがないんです。中学生相手にちょっとキビしいかもしれませんが、一応数学とはそう言うモノなんですよ。「共通理解」が成り立たない限りニッチもサッチも進まないモノなのです。数学で質問する時はそう言う部分に注意を払うようにしましょう。
少なくとも、「マンモスパスカル」でGoogleで検索かけてみましたが、そんな数学用語は引っかかりませんでした。従って、YHさんが持っている教科書、ないしは参考書ローカルだけで通用する定義でしょう。

二項係数、と言われるモノが存在します。一般的には

と記述します。また、

とはn 個から k 個選ぶ組み合わせ数の事です・・・・・・・。
とここまで書いてきて心配になってきました(苦笑)。
そうか。中学生だと・・・・・う〜〜〜ん・・・・・・・・・。確かに上記の方法だと高校2年生以上、の表記ですね。こりゃあ困った(苦笑)。
まずは階乗表記から。例えば3!と書いた時、これはの事です。4!だったらの事ですね。また、と定義します。
つまり、

の事なんです。読む方も大変でしょうが、書く方も大変です(笑)。涙がちょちょぎれてきますね(苦笑)。
まあ、取り敢えず、n個からk個取る組み合わせ数は上記の公式に従って計算します。
次に、と言う表記はk=0からk=nまで全て足し合わせてくださいと言う意味です。
つまり、

と言う事になります。打ち間違えてなければイイのですが(笑)。
まあ、基本的には問2、問3の解は上の式を指している、ないしは使う、と考えてイイでしょう。それだけなんですね。

中学校3年生辺りで数式の展開を習うと思います。例えば、

とか言うヤツですね。
これを二項係数で記述すると、

となります。、と言う約束事を定義すると、

となりますね。
上の式を計算してみて、お馴染みのになるのかどうか、調べてみてください。

以上です。