高校数学の窓LaTeX版: 質問＜３６０５＞２００７／９／１２ from=ＧＴ「確率」

当たり４本、はずれ６本が入っているくじを、Ａ・Ｂ・Ｃの３人がこの順で引く。
$A_k$ ：「ｋ番目に引く人が当たる」(ｋ=１〜３)　とするとき、

条件つき確率 $P(A_2|A_1)$ 、 $P(A_3|A_1\cap A_2)$

$P(\cap_{i=1}^2 A_i)$ 、 $P(\cap_{i=1}^3 A_i)$ 、 $P(\cup_{i=1}^2 A_i)$

をそれぞれ求めよ。
　
この問題の解き方を教えてほしいです。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

まあ、確率の問題、と言うより記号解釈の問題、でしょうね〜〜。
少なくとも、

$A_k$ ：「ｋ番目に引く人が当たる」(ｋ=１〜３)　

と言う条件を見る限り、結局、Ａ・Ｂ・Ｃの３人は１回ずつしかくじを引かないんです。つまり別に延々とくじがなくなるまで引き続けるわけではないと言うのが問題設定になってますね。
従って、記号の意味さえ分かればそれほど難しく無いです。

条件つき確率 $P(A_2|A_1)$ 、 $P(A_3|A_1\cap A_2)$ を求めよ。

$P(A_2|A_1)$ の読み方は日本語では、問題に従うと、Aが当たりくじを引いた状態でのBが当たりくじを引く確率です。
従って、Aが１回めにくじを引いてるので、くじの総本数は既に9本しかなく、また、当たりくじも1本減って３本になってるので、

$P(A_2|A_1)=\frac{1}{3}$

ですね。全然難しくありません。
同様に、 $P(A_3|A_1\cap A_2)$ の読み方は日本語では、Aが当たりくじをひいてBが当たりくじを引いた状態でのCが当たりくじを引く確率です。
従って、A、B、がくじを引き終わってるので、くじの総本数は既に８本しかなく、また、当たりくじも2本減って2本になっているので、

$P(A_3|A_1\cap A_2)=\frac{1}{4}$

になりますね。
このように、実はアイディアも計算も全然難しくないのです。あくまで記号をどうやって日本語に訳すのか、と言うのがポイントになります。数学の問題と言うより国語の問題ですね。

$P(\cap_{i=1}^2 A_i)$ 、 $P(\cap_{i=1}^3 A_i)$ 、 $P(\cup_{i=1}^2 A_i)$ を求めよ。

ええと、これも省略記号です。
例えば、

$P(\cap_{i=1}^2 A_i)=P(A_1\cap A_2)$

の事です（原文の表示をLaTeX表示に直してみましたが、少なくともこう書きたかったんじゃないかな、と思っています)。
まあ、この辺りは、多分確率絡みと言うより実際はもっと数学的な集合論の話でしょうし、ハッキリ言うとその辺りは門外漢ですし(笑)、また、このテの書き方はあんま統計学関係ではやりませんけどね(笑)。ただし、確率・統計の教科書の最初の辺りにある公理の能書きなんかで(笑)、概論を書くにあたりこういう省略形を使うことがたまにあります(笑)。はい。
さて、それよりも大事なのは、一般に、

$P(A_1\cap A_2)=P(A_2|A_1)P(A_1)=P(A_1|A_2)P(A_2)$

の関係があります。ここでは1番の問題に従って、最初の形式、

$P(A_1\cap A_2)=P(A_2|A_1)P(A_1)$

を利用してみます。は問題設定で、ってのは分かりますね?
従って、1番の答えを利用して、

$P(A_1\cap A_2)=P(A_2|A_1)P(A_1)=\frac{1}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{2}{15}$

と言うのが答えになります。
同様に、

$P(\cap_{i=1}^3 A_i)=P(A_1\cap A_2 \cap A_3)$

の事です。
問題はどうやってを展開するか、って事なんですけれども、その方法は・・・・・ええとどこだったかなあ(笑)。あ、そうだそうだ。ココに書いてあります。それ参考にしてやってみましょう。
となりますね。
一つだけ気を付けて欲しいのは、問題3532の場合はマルコフ連鎖と言う条件が加味されていましたが、今回はそうではない、と言う事です。従って、これ以上余計な操作は行いません。ここで終わりです。
1番の解を考慮すると、
となりますね。
最後のは

$P(\cup_{i=1}^2 A_i)=P(A_1\cup A_2)$

の事です。この計算公式に付いてはココに書いてあります。つまり、

$P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)$

って事ですね。問題はは分かる、も分かる、ただしが分からない、と言う事です。これを計算しないとならない。
また引用しますが、問題3590に記述してるエビデンスと言われるモノを計算します。具体的にはAさんがくじを引く事で取り得る事象をyとすると、

$P(A_2)=\sum P(A_2|y)P(y)$

を計算します。もっと具体的には、の否定をと表現すると、

$P(A_2)=P(A_2|A_1)P(A_1)+P(A_2|\bar{A_1})P(\bar{A_1})$

を計算する、って事です。第1項はすぐ分かりますが、問題は第2項ですね。
は題意よりってのはすぐ分かります。
次には日本語に直すと、Aがハズレくじを引いた状態でのBが当たりを引く確率なので、くじの総数は９本、当たりくじは依然と４本なのでとなります。
従って、

$P(A_2|\bar{A_1})P(\bar{A_1})=\frac{4}{9}\times\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$

となり、エビデンスは、

$P(A_2)=\frac{2}{15}+\frac{4}{15}=\frac{6}{15}$

となります。
従って、

$P(A_1\cup A_2)=\frac{2}{5}+\frac{6}{15}-\frac{2}{15}=\frac{2}{3}$

ってのが答えになります。