高校数学の窓LaTeX版: 7月 2007

質問です。問題は院試で出題されたものです。（高校範囲でなくてすいません）
　「曲面 $y^2=ax-x^2$ と曲面 $z^2=4ax$ で囲まれる立体の全表面積を求めよ。
　　ただし、a＞0とする。」

$S=\iint_D(1+(zx)^2+(zy)^2)^{\frac{1}{2}}dxdy$
を使いそうだとはわかるのですが。途中で計算がうまくいきません。
また基本的なことかもしれませんが、例えば
「曲面 $y^2=ax-x^2$ の曲線 $z^2=4ax$ の内部の部分の曲面積を求めよ。」
となった場合と本問では計算方法にどのような違いがあるのでしょうか？
よろしくお願いします。

う～ん･･････重積分ですか。
昔やったんですがすっかり忘れています(笑)。
大体、僕自身大学院なんて行ってませんし(笑)、大学院の院試なんて受けた事もないから分かりません(笑)。彼女は大学院通ってるんですが、文系なんで多分こんな試験受けてませんね(笑)。
しかし、ちょっと興味があったんで、やってみましょうか。まあ、間違っていたらツッコミもあるでしょうし、その辺りは安心してるんですけれども。

ところで、 $y^2=ax-x^2$ ってのは円柱になる、ってのはお分かりでしょうか?zに対して考えてみると、これは定数関数なんですよね。次のようなグラフになっています。

上の図はa=2として試しに描画したモノなんですが、実際は上のような円筒がz軸方向に無限に伸びています。 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2=(\frac{a}{2})^2$ と言う円をz軸に平行に伸ばしまくったモノですね。そしてこれで、 $0\le x\le a$ 、 $-\frac{a}{2}\le y\le \frac{a}{2}$ だと言う条件が分かります。
次は $z^2=4ax$ と言う平面です。これは次のようになっています。

実際は上のグラフはa=2としての $z=\sqrt{4ax}$ のグラフではあるんですが。もっとも、わざわざ $z^2=4ax$ って書いてるんですから、実際はzの負の範囲もあるんでしょうがね。つまり、zがxの関数と言うよりxがzの関数なのです。まあ、ここでは取りあえずzを正の範囲、として見ています。
さて、上記の二つのグラフが交差した接合面なんですが、これは以下のようになっています。

ちょっとしたマネキンの首にかかった(笑)ネックレスのような曲面が描かれます。
さて、これが上下に存在した立体の表面積をどうやって求めようか･･････?何か積分公式あったかな･･････?
と暫く考えてたんですが、結論から言うと、重積分する必要性が全く無い、と言う事に気づきました。今からその話を書きます。
上の接合面を真正面から見てみましょう。以下のようになります。

これはxを無視したy-z平面のグラフになるんですが、仮に題意の立体をx軸に垂直な平面で切ると、どこを切っても長方形にしかならないのです。と言う事はその長方形の周囲の長さは以下のようにしかなりません(yは左右対称、zは上下対称になる事に留意)。

$4\times(y+z)$

いや、周囲の長さ求めるって問題じゃないんですけど････とか言われそうなんですが(笑)、問題の立体の表面積ってのは上記の長さ×奥行きで書き表せるんです。ここで奥行きがxであって、微小変位を $\Delta x$ とすれば、微小表面積 $\Delta S$ は

$\Delta S=4(y+z)\Delta x$

で書き表す事が出来ます。
すなわち、

$S=4\int_0^a(y+z)dx$

ってのが表面積を求める式になるんですね。上記の変数y、zは共にxの関数なんでこの積分は理屈では上手く行くハズなのです。
書き直すと

$S=4\int_0^a(\sqrt{ax-x^2}+2\sqrt{ax})dx$

って事です。しかしコレは見た目あんまり積分したく無いですね(笑)。クソメンド臭そう(笑)。
そこで変数変換を試みてみます。 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2=(\frac{a}{2})^2$ だったので、 $x=\frac{a}{2}\cos{\theta}+\frac{a}{2}$ 、 $y=\frac{a}{2}\sin{\theta}$ と記述出来ます。また、 $dx=-\frac{a}{2}\sin{\theta}d\theta$ になるんで上記の式は

$S=-2a\int_{\pi}^0(\frac{a}{2}\sin{\theta}+a\sqrt{2(\cos{\theta}+1)})\sin{\theta}d\theta$
$=-a^2\int_{\pi}^0(\sin{\theta}+2\sqrt{2(\cos{\theta}+1)})\sin{\theta}d\theta$
$=-a^2\int_{\pi}^0(\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\sqrt{2(\cos{\theta}+1)})d\theta$
$=-a^2\int_{\pi}^0(\sin^2{\theta}+4\sin{\theta}\sqrt{\frac{1+\cos{\theta}}{2}})d\theta$

ここで半角公式 $\cos^2{\frac{\theta}{2}}=\frac{1+\cos{\theta}}{2}$ を利用すると、

$S=-a^2\int_{\pi}^0(\sin^2{\theta}+4\sin{\theta}\cos{\frac{\theta}{2}})d\theta$

二倍角の公式 $\sin{\theta}=2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}$ 、 $\cos{2\theta}=1-2\sin^2{\theta}$ を利用して

$S=-a^2\int_{\pi}^0(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{2\theta}+8\sin{\frac{\theta}{2}}\cos^2{\frac{\theta}{2}})d\theta$
$=-a^2\left[\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{4}\sin{2\theta}-\frac{16}{3}\cos^3{\frac{\theta}{2}}\right]_{\pi}^0$
$=-a^2\left[\frac{1}{2}(0-\pi)-\frac{1}{4}(0-0)-\frac{16}{3}(\cos^3{0}-\cos^3{\frac{\pi}{2}})\right]$
$=-a^2\left[-\frac{\pi}{2}-\frac{16}{3}\right]$
$=a^2\left[\frac{\pi}{2}+\frac{16}{3}\right]$
$\therefore S=\frac{(3\pi+32)a^2}{6}$

となるでしょうね。

以上です。

「 $x>0$ , $y>0$ で $y^{\log_2 x}=4$ となる $(xy)^2$ のとりうる値の範囲を求め
よ。」を教えてください。よろしくお願いします。

ふ～～ん･･････。この問題難しいですね。ちょっとやっていってみます。
基本的に問題の数式変換をしていくと、

$\log_2 y^{\log_2 x}=\log_2 4$
$\log_2 x\times\log_2 y=\log_2 2^2$
$\therefore\log_2 x\log_2y=2$

とはなるんですが、『だからどーした!?』とかツッコミそうになります(笑)。そりゃそうだ(笑)。
しょうがないんで、取りあえず $u=\log_2 x$ 、 $v=\log_2 y$ として

$uv=2$

とでもしましょうか。依然として『だから?』ってカンジですけどね(笑)。式は簡単になりましたが、依然とx、y単独に付いては何も分かりませんし。しかも『取りうる値の範囲』ですから、何の情報にもなりそうにありません。
一応上の式をプロットしてみましょうか。何か分かるかな?

分かりませんね(爆)。これはいわゆる反比例のグラフですがuが増えればvが減る、なんてこたぁ言われなくても初めから分かっていた事です。これじゃあ何にもなりません。クソ。
どうやら方針変更するしか無いですね。上の式ですと、見た目にはuが自由な値を取っても良さそうですし、vもしかり、です。かけた値が2と言う固定した値に収まるだけで、何の情報も与えてくれそうにない。もっとuとvを切り離して、もうちょっと情報を与えるなり、制限を加えてくれる条件があれば良さそうなんですが・・・・・・。
そこでちょっと視点を移してみます。 $uv=2$ と言うフォームに注目して、もっとuとvが絡み合ってなくて、どんな場合にも使える普遍的な制限が何か無いのか･･････と言うと実はあったんですね。次の式がそれです。

$uv\le\frac{u^2+v^2}{2}$

はい。お馴染みの相加平均･相乗平均の関係式、ですね。これである程度動き回るuとvに制限を付けてくれそうです。まだxとyそのものに付いては何も分かりませんが、とりうる値の範囲を求めると言う命題には一役買ってくれそうです。
しかも左辺の値は既に分かってますんで、

$\frac{u^2+v^2}{2}\ge2$
$\therefore u^2+v^2\ge 2^2$

となります。そして上の式はu-v平面での円の公式を表してるんですよ。しめしめ。

$\vec{r}=(u,v)$ が上図の円の範囲内に存在したらアウトですが、円の外側だったらどんな $\vec{r}$ でも取りえます。これで少しは見通しが良くなりそうです。すなわち、

$u=|\vec{r}|\cos{\theta}$

$v=|\vec{r}|\sin{\theta}$

として構わない、と言う事です。そして、 $\theta$ は今のトコどんな値も取れますが、先ほどの図により $|\vec{r}|\ge 2$ でなければならない事が分かります。
ところで、元々 $u=\log_2 x$ 、 $v=\log_2 y$ だったので、

$\log_2 x=|\vec{r}|\cos{\theta}$

$\log_2 y=|\vec{r}|\sin{\theta}$

と言う事です。そしてこの時点で、 $uv\not=0$ だった事から、 $\theta\not=\frac{n}{2}\pi$ 、 $n=0,1,2,3\dots$ だと言う事が分かります。また、 $uv=|\vec{r}|^2\sin{\theta}cos{\theta}$ なんで $|\vec{r}|\ge 2$ より $\sin{\theta}>0$ なら $\cos{\theta}>0$ 。または $\sin{\theta}<0$ なら $\cos{\theta}<0$ だと言う事が分かります。つまりu-v平面上で言うと $\vec{r}$ は第1象限上、または第3象限上にしか存在しないのです。このアトは明示しませんが、一応頭の片隅に置いておいて下さい。
書き換えると、

$x=2^{|\vec{r}|\cos{\theta}}$

$y=2^{|\vec{r}|\sin{\theta}}$

となりますね。こう言うカタチでx、yを分解して記述出来ました。すなわち、題意の $(xy)^2$ は

$(xy)^2=(2^{|\vec{r}|\cos{\theta}}\times 2^{|\vec{r}|\sin{\theta}})^2$
$\therefore (xy)^2=2^{2|\vec{r}|(\cos{\theta}+\sin{\theta})}$

と記述出来ます。
ところで、現在、x、yを記述するパラメータは $|\vec{r}|$ 、 $\theta$ の二つです。そして先ほども言ったように、今、分かっているのは $|\vec{r}|\ge 2$ と言う事で、2以上だったら $|\vec{r}|$ はいくらでも大きく出来ます。と言う事は $\theta$ の値がいくらであろうが最大値を考える事は無意味なんです。すなわち、実は範囲を求めよと言うのは $(xy)^2$ の最小値を求めよ、って事になるんです。
そうなると、 $|\vec{r}|$ の最小値は2である事は確定なので、 $\cos{\theta}+\sin{\theta}$ の最小値を求めれば問題が解ける事になります。ちなみに $\cos{\theta}+\sin{\theta}$ のグラフは以下の様になります。

まあ当然ですが、 $\cos{\theta}+\sin{\theta}$ は上のグラフの様に振動します。最大値(これは無視して構わない)と最小値があります。
最小値を求めるには、解析がお好きだったら $\cos{\theta}+\sin{\theta}$ を微分して求めてみたらイイでしょう。ないしは微分なんてしなくっても、高校2年の三角関数程度の知識で最小値は簡単に分かるとは思います。
ちなみに、 $0\le\theta\le\2\pi$ の範囲で $\theta=\frac{5}{4}\pi$ の時 $\cos{\theta}+\sin{\theta}$ はその最小値 $-sqrt{2}$ をとります。
従って、

$(xy)^2\ge 2^{-4sqrt{2}}$
$\therefore (xy)^2\ge \frac{1}{2^{4sqrt{2}}}$

となります。

以上です。

上図:与題の幾何的解釈。本文では円を中心に展開していったが、実際u-v平面上、と言う事で考えれば最初の $v=\frac{2}{u}$ のグラフと $u^2+v^2=2^2$ のグラフを同時にプロットしても構わない。そして、 $\vec{r}$ は円内でなければどこでもプロットできる、と言う言い方をしたが、上を見ても分かるように、実際は $\vec{r}$ は $v=\frac{2}{u}$ 上に存在する。

修正です。

UnderBird氏のお陰でミスに気づきました。これもやり直した方が良さそうです。
微分積分を介入させたくない場合は、＜3584＞のUnderBird氏の解法に従って解いていってみて下さい。
ここでは微分法を介在して解きなおしてみます。

前出の方法では $|\vec{r}|=2$ として固定して解こう、と考えてたんですが、どうやらここでも $|\vec{r}|$ を $\theta$ の関数として正攻法でやったほうが良さそうですね。あんまメンド臭い方法を使いたくなかったんですが、ウラメに出たみたいです。
どちらにしても題意は

$(xy)^2=2^{2|\vec{r}|(\cos{\theta}+\sin{\theta})}$

と表現出来るので、

$Q=|\vec{r}|(\cos{\theta}+\sin{\theta})$

がどうなるのか、と言う視点で考えてみます。
合成関数の微分公式

$D(wz)=\dot{w}z+w\dot{z}$

を用いるとQの微分 $\dot{Q}$ は

$\dot{Q}=\dot{|\vec{r}|}(\cos{\theta}+\sin{\theta})+|\vec{r}|(\cos{\theta}-\sin{\theta})$

と書き表せます。同様にして

$f(\theta)=uv=|\vec{r}|^2\cos{\theta}\sin{\theta}$

を微分すると、

$\dot{f(\theta)}=\dot{|\vec{r}|}|\vec{r}|\sin{2\theta}+|\vec{r}|^2\cos{2\theta}$

となります。 $\dot{Q}=0$ , $\dot{f(\theta)}=0$ の時、 $Q$ 、 $f(\theta)$ は極値を取るので、

$\dot{|\vec{r}|}(\cos{\theta}+\sin{\theta})+|\vec{r}|(\cos{\theta}-\sin{\theta})=0$
$\dot{|\vec{r}|}\sin{2\theta}+|\vec{r}|\cos{2\theta}=0$

が解くべき連立方程式となります。行列表記して書き直すと、

$\left(\begin{array}\cos{\theta}+\sin{\theta}&\cos{\theta}-\sin{\theta}\\\sin{2\theta}&\cos{2\theta}\end{array}\right)\left(\begin{array}\dot{|\vec{r}|}\\|\vec{r}|\end{array}\right)=\left(\begin{array}0\\0\end{array}\right)$

となり、求めるべきは自明ではない解なので、

$A=\left(\begin{array}\cos{\theta}+\sin{\theta}&\cos{\theta}-\sin{\theta}\\\sin{2\theta}&\cos{2\theta}\end{array}\right)$

は逆行列を持ちません。従って行列式 $\det{A}=0$ より

$\cos{2\theta}(\cos{\theta}+\sin{\theta})-\sin{2\theta}(\cos{\theta}-\sin{\theta})=0$

加法定理を利用して整理して

$\sin{\theta}=\cos{\theta}$
$\therefore \theta=\pi/4+n\pi$ 、 $n=0,1,2,3\dots$

よって前出の通り、 $\vec{r}$ は第一象限、第三象限にしか存在しないので、 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 、 $\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi$ の二つの範囲に関して増減を調べれば事足ります。

$0<\theta<\frac{\pi}{2}$ の増減表

$\theta$
0
$\dots$
$\frac{\pi}{4}$
$\dots$
$\frac{\pi}{2}$
$\dot{Q}$

-
0
+

Q
$\infty$
$\searrow$
$2\sqrt{2}$
$\nearrow$
$\infty$
$(xy)^2$
$\infty$
$\searrow$
$2^{4\sqrt{2}}$
$\nearrow$
$\infty$

$\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi$ の増減表

$\theta$
$\pi$
$\dots$
$\frac{5}{4}\pi$
$\dots$
$\frac{3}{2}\pi$
$\dot{Q}$

+
0
-

Q
$-\infty$
$\nearrow$
$-2\sqrt{2}$
$\searrow$
$-\infty$
$(xy)^2$
0
$\nearrow$
$\frac{1}{2^{4\sqrt{2}}}$
$\searrow$
0

と言うワケで、

$0<(xy)^2\le\frac{1}{2^{4\sqrt{2}}}$ 、 $(xy)^2\ge 2^{4\sqrt{2}}$

のようです。
失礼致しました。

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$\theta$	0	$\dots$	$\frac{\pi}{4}$	$\dots$	$\frac{\pi}{2}$
$\dot{Q}$		-	0	+
Q	$\infty$	$\searrow$	$2\sqrt{2}$	$\nearrow$	$\infty$
$(xy)^2$	$\infty$	$\searrow$	$2^{4\sqrt{2}}$	$\nearrow$	$\infty$

$\theta$	$\pi$	$\dots$	$\frac{5}{4}\pi$	$\dots$	$\frac{3}{2}\pi$
$\dot{Q}$		+	0	-
Q	$-\infty$	$\nearrow$	$-2\sqrt{2}$	$\searrow$	$-\infty$
$(xy)^2$	0	$\nearrow$	$\frac{1}{2^{4\sqrt{2}}}$	$\searrow$	0