質問＜３５６９＞２００７／６／２５from=みのる「方程式」

方程式　　・・・（＊）を考える。

1. （＊）を根号を含まない形に同値変形せよ。（絶対値は外さなくて良い）


2. （＊）を解け。

教えて下さい。

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ええと、僕の彼女は大学時代は人文学部で英語専攻だったのですが、大学院に入学してからは教育学部に変わったのですね。つまり、『英語学』専攻から『英語教育学』専攻へと路線変更になりました。
実はこの2つ、素人目には大して違いが分かりません。漢字にしてもたった2文字増えただけです(笑)。しかしながら『教育』と言う2文字増えただけで随分と勝手が違うようで、かなり戸惑っているようです。
すなわち、

• 英語学→英語のスペシャリストを育成する
• 英語教育学→『英語の教育』の専門家を教育するだけで、すなわち別に英語自体のスペシャリストを育成するワケではない

と言う違いがある。まあ、言われれば当たり前なんですが、英語のスペシャリストが必ずしも英語教育のスペシャリストたりえない、ってのは面白いですね。
と言う事はどうやら逆も成り立つ可能性があります。すなわち××教育学のスペシャリストは必ずしも××の専門家と言うワケではない、って事ですよね。この2つは度々意思疎通が困難になるんじゃないか、とも思えます。

とまあ余談から始めますが(笑)、何故こんな話を書いたのか、と言うと、どうやらこの問題、数学教育学関係の試験かテキストからの出題みたいなんですね。そして、数学的に見るとかなりおかしな問題らしいのです。どう考えても数学の専門家が作った問題ではないようです。
下にこれに関する議論が展開されていた掲示板へのリンクを貼っておきますが、あとで参照してもらうとして、取り合えず計算上は、

となって確かに題意である根号を含まない形に変形は出来ます。変形は出来るのです。
ただし、問題は同値変形ではない、と言うトコロなんです。

詳しくはこのPDFに同値変形の定義が書いていますが、同値変形の場合は可逆性がなければならないのです。上の式ですと2行目が問題で、左辺は0以上が要請されているようです。が右辺にはそんな要請はありません。問題文には特に条件は書かれていませんが、左辺が虚数になるケースですと、そんな数値はでは書き表せないのです。
これは元々の式が恒等式としては破綻してるんじゃないか、って事ですね。問題にならない式を問題として記述している。ないしは筆が滑ってキチンとした定義のある単語なのに同値変形と書いてしまった、とか。いずれにせよ答えようが無い、と言うのも一つの言い方かもしれませんね。


上図:下のリンクの掲示板で話されているグラフ。同値変形云々よりこう言う幾何学的な話にした方がスッキリするらしい。

同値変形・数学科指導法II - 玉川大学　数学コース掲示板