質問<3580>2007/7/22from=どっと「指数・対数の問題」
「,
で
となる
のとりうる値の範囲を求め
よ。」を教えてください。よろしくお願いします。
ふ~~ん・・・・・・。この問題難しいですね。ちょっとやっていってみます。
基本的に問題の数式変換をしていくと、
とはなるんですが、『だからどーした!?』とかツッコミそうになります(笑)。そりゃそうだ(笑)。
しょうがないんで、取りあえず
とでもしましょうか。依然として『だから?』ってカンジですけどね(笑)。式は簡単になりましたが、依然とx、y単独に付いては何も分かりませんし。しかも『取りうる値の範囲』ですから、何の情報にもなりそうにありません。
一応上の式をプロットしてみましょうか。何か分かるかな?

分かりませんね(爆)。これはいわゆる反比例のグラフですがuが増えればvが減る、なんてこたぁ言われなくても初めから分かっていた事です。これじゃあ何にもなりません。クソ。
どうやら方針変更するしか無いですね。上の式ですと、見た目にはuが自由な値を取っても良さそうですし、vもしかり、です。かけた値が2と言う固定した値に収まるだけで、何の情報も与えてくれそうにない。もっとuとvを切り離して、もうちょっと情報を与えるなり、制限を加えてくれる条件があれば良さそうなんですが・・・・・・。
そこでちょっと視点を移してみます。
はい。お馴染みの相加平均・相乗平均の関係式、ですね。これである程度動き回るuとvに制限を付けてくれそうです。まだxとyそのものに付いては何も分かりませんが、とりうる値の範囲を求めると言う命題には一役買ってくれそうです。
しかも左辺の値は既に分かってますんで、
となります。そして上の式はu-v平面での円の公式を表してるんですよ。しめしめ。

ところで、元々
書き換えると、
と記述出来ます。
ところで、現在、x、yを記述するパラメータは
そうなると、

まあ当然ですが、
最小値を求めるには、解析がお好きだったら
ちなみに、
従って、
となります。
以上です。

上図:与題の幾何的解釈。本文では円を中心に展開していったが、実際u-v平面上、と言う事で考えれば最初の
修正です。
UnderBird氏のお陰でミスに気づきました。これもやり直した方が良さそうです。
微分積分を介入させたくない場合は、<3584>のUnderBird氏の解法に従って解いていってみて下さい。
ここでは微分法を介在して解きなおしてみます。
前出の方法では
どちらにしても題意は
と表現出来るので、
がどうなるのか、と言う視点で考えてみます。
合成関数の微分公式
を用いるとQの微分
と書き表せます。同様にして
を微分すると、
となります。
が解くべき連立方程式となります。行列表記して書き直すと、
となり、求めるべきは自明ではない解なので、
は逆行列を持ちません。従って行列式
加法定理を利用して整理して
、
よって前出の通り、
の増減表
0 - 0 + Q の増減表
+ 0 - Q 0 0
のようです。
失礼致しました。
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