質問＜３５７９＞２００７／７／１６from=ぼんど「重積分についての質問」

質問です。問題は院試で出題されたものです。（高校範囲でなくてすいません）
　「曲面と曲面で囲まれる立体の全表面積を求めよ。
　　ただし、a＞0とする。」


を使いそうだとはわかるのですが。途中で計算がうまくいきません。
また基本的なことかもしれませんが、例えば
「曲面の曲線の内部の部分の曲面積を求めよ。」
となった場合と本問では計算方法にどのような違いがあるのでしょうか？
よろしくお願いします。

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う～ん･･････重積分ですか。
昔やったんですがすっかり忘れています(笑)。
大体、僕自身大学院なんて行ってませんし(笑)、大学院の院試なんて受けた事もないから分かりません(笑)。彼女は大学院通ってるんですが、文系なんで多分こんな試験受けてませんね(笑)。
しかし、ちょっと興味があったんで、やってみましょうか。まあ、間違っていたらツッコミもあるでしょうし、その辺りは安心してるんですけれども。

ところで、ってのは円柱になる、ってのはお分かりでしょうか?zに対して考えてみると、これは定数関数なんですよね。次のようなグラフになっています。


上の図はa=2として試しに描画したモノなんですが、実際は上のような円筒がz軸方向に無限に伸びています。と言う円をz軸に平行に伸ばしまくったモノですね。そしてこれで、、だと言う条件が分かります。
次はと言う平面です。これは次のようになっています。



実際は上のグラフはa=2としてののグラフではあるんですが。もっとも、わざわざって書いてるんですから、実際はzの負の範囲もあるんでしょうがね。つまり、zがxの関数と言うよりxがzの関数なのです。まあ、ここでは取りあえずzを正の範囲、として見ています。
さて、上記の二つのグラフが交差した接合面なんですが、これは以下のようになっています。


ちょっとしたマネキンの首にかかった(笑)ネックレスのような曲面が描かれます。
さて、これが上下に存在した立体の表面積をどうやって求めようか･･････?何か積分公式あったかな･･････?
と暫く考えてたんですが、結論から言うと、重積分する必要性が全く無い、と言う事に気づきました。今からその話を書きます。
上の接合面を真正面から見てみましょう。以下のようになります。


これはxを無視したy-z平面のグラフになるんですが、仮に題意の立体をx軸に垂直な平面で切ると、どこを切っても長方形にしかならないのです。と言う事はその長方形の周囲の長さは以下のようにしかなりません(yは左右対称、zは上下対称になる事に留意)。

いや、周囲の長さ求めるって問題じゃないんですけど････とか言われそうなんですが(笑)、問題の立体の表面積ってのは上記の長さ×奥行きで書き表せるんです。ここで奥行きがxであって、微小変位をとすれば、微小表面積は

で書き表す事が出来ます。
すなわち、

ってのが表面積を求める式になるんですね。上記の変数y、zは共にxの関数なんでこの積分は理屈では上手く行くハズなのです。
書き直すと

って事です。しかしコレは見た目あんまり積分したく無いですね(笑)。クソメンド臭そう(笑)。
そこで変数変換を試みてみます。だったので、、と記述出来ます。また、になるんで上記の式は

ここで半角公式を利用すると、

二倍角の公式、を利用して

となるでしょうね。

以上です。