高校数学の窓LaTeX版: 12月 2007

質問＜３６６０＞２００７／１２／２９ from=A.T. 「最大値を求める問題」

次の問題を解いてください。
お願いします。
平面上において, $AB=AC$ の2等辺3角形ABCがあり, 辺BCの中点
をMとするとき, $AM=\sqrt{3}$ , $BM=a$ $(a>0)$ である.
辺BC上に $PQ=a$ をみたす2点P,Qをとるとき,
$(\frac{1}{AP})^2 + (\frac{1}{AQ})^2$
の最大値を求めよ.

★希望★完全解答★

まあ、色々解き方はあるとは思うんですが……。

基本的に僕は幾何学大っ嫌いなんで(ヲイ・笑)、解析的アプローチを企ててみます。

要するに、直角三角形APMと直角三角形AQMの二つがあって、その斜辺APとAQの長さがどうなるのか、って事ですよね。二等辺三角形ABCは全く関係がないワケです(笑)。
ここで、 $\bar{QM}=x$ とすれば条件により $\bar{PM}=a-x$ となる。
従って、3平方の定理により、

$\bar{AP}=3+(a-x)^2$
$\bar{AQ}=3+x^2$

となります。
と言うことは、関数f(x)が

$f(x)=\left(\frac{1}{\bar{AP}}\right)^2+\left(\frac{1}{\bar{AQ}}\right)^2=\left(\frac{1}{3+(a-x)^2}\right)^2+\left(\frac{1}{3+x^2}\right)^2$

と書き表される時、f(x)の最大値は何か?と言う事ですよね?
もうこうなれば微分しか無いです(笑)。微分してf(x)の増減を調べれば一丁上がり、です。

微分に自信がなければ教科書か、ないしはMaximaの項を参照して下さい。

ちなみに答えは $\frac{32}{(a^2+12)^2}$ となるようです。

以上です。

質問＜３６６１＞２００７／１２／２９ from=たかし「連続関数」

$f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ は（−∞、＋∞）で、狭義の単調増加な連続関数であることを示せ。
次に、この関数の逆関数を求めよ。

★希望★完全解答★

$a\le x_1 < x_2\le b$ の任意の $x_1$ 、 $x_2$ をとると，平均値の定理から

$f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f^{\prime}(c)$ 　 $(x_1\le c\le x_2)$

ここで、与式の微分は常に $f^{\prime} (x) \ge 0$ なので $f(x_1) < f(x_2)$ となる。
すなわち， $f(x)$ は $(-\infty, \infty)$ で狭義の単調増加関数である．

意地悪い言い方をすれば、与式は

$\sinh{x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

として定義されている(→双曲線関数を参照)ので、逆関数は単に

$y=\sinh^{-1}{x}$

となる。
もうちょっと親切に書くと

$y=\log{(x+\sqrt{x^2+1})}$

の事。
なお、求め方は逆双曲線関数の項を参照の事。

以上。

Differentiate ...(微分)

Maximaで微分をする場合は、[Calculus]プルダウンメニューから[Differentiate...]を選びます。

これにより表れるポップアップメニューは次の通りです。

Expression:微分したい数式を入力します。

in variable:微分したい変数を入力します。

times:微分階数を入力します。デフォルトは1で一階微分を行います。

例題:

$\frac{1}{2}\left(\frac{L}{2+x}\right)^2 x$ をxに付いて微分せよ。

Maximaの[Expression:]の項に、上記の微分したい関数を

1/2*(L/(2+x))^2*x

のように入力し、微分したい変数xを指定、そして1階微分なので[times:]をデフォルトのまま1とします。

そのまま[OK]ボタンをクリックすると、解が表示されます。

これで解が

$\frac{{L}^{2}}{2\,{\left( x+2\right) }^{2}}-\frac{x\,{L}^{2}}{{\left( x+2\right) }^{3}}$

になることが分かります。
あとは状況に応じて式を整理してみればいいだけ、です。

Maxima Manual: 微分

質問＜３６５９＞２００７／１２／２８ from=六甲「大学の課題です」

大学の提出課題なのですが、しばらく数学から離れていたため
全くわからなくなってしまい困っています。
どなたか解き方のみでもよいので教えてください。
よろしくお願いします。

周囲の長さがＬ（一定）の扇形のうち面積が最も大きいものの中心角の大きさを求めなさい。

曲線 $y=-x^2+4x$ とｘ軸とに囲まれた面積がｙ＝ａｘによって二等分されるときａの値を求めなさい。

です。ほかの問題はどうにかこなしたんですが、

この２問だけが自分では全く見当もつきませんでした・・・
どなたか本当によろしくお願いします。

★希望★完全解答★

周囲の長さがＬ（一定）の扇形のうち面積が最も大きいものの中心角の大きさを求めなさい。

微分の問題。
円の面積公式が $\pi r^2$ であることから角度を $\theta$ とすると、扇形の面積は $\frac{1}{2} r^2\theta$ であることは充分推察出来る。
従って、取りあえず扇形の面積を

$I=\frac{1}{2} r^2 \theta$

と置いてみる。
次に、周囲の長さがLと言う条件から、半径rとLの関係を考えてみる。
円周lは一般に

$l=r\theta$

の関係を満たすので、半径rとLの関係は

$L=2r+l$

と記述でき、従って、半径rは

$r=\frac{L}{2+\theta}$

と $\theta$ の関数となる。
上式rをIに代入して整理すると、

$I=\frac{1}{2}\left(\frac{L}{2+\theta}\right)^2\theta$

が求める面積の式となる。
あとは $\theta$ に関して上式を微分し、面積の増減を調べてみれば良い。
なお、微分に関して自信が無かったら教科書かMaximaの項を参照。

曲線 $y=-x^2+4x$ とｘ軸とに囲まれた面積がｙ＝ａｘによって二等分されるときａの値を求めなさい。

積分の問題。
まずは題意の $y=-x^2+4x$ のグラフを描いてみる。

まずはこのグラフの面積を知らなければ話にならない。
$y=-x^2+4x$ とx軸に囲まれた面積をIとすると、x軸との交点を考慮して、

$I=\int_0^4\left( -x^2+4x\right) dx$

が面積となる。
積分に自信が無い場合は、教科書かMaximaの項を参照。
次に上のグラフに適当な直線、y=axを通した時、 $y=-x^2+4x$ とy=axに囲まれた面積Aが上で求めたIの $\frac{1}{2}$ になれば題意が満たされる。

適当に直線を引いた例

一般に、グラフの上部にある関数をf(x)、グラフの下部にある関数をg(x)とすると、f(x)とg(x)に囲まれた部分の面積Aは、s、t、を二つの関数の交点とすると、

$A=\int_s^t\left( f(x)-g(x)\right) dx$

で記述出来る。
この論理を題意のケースに当てはめると、 $y=-x^2+4x$ とy=axに囲まれる面積Aは

$A=\int_0^{4-a}\left( -x^2+4x-ax\right) dx$

と記述でき、 $A=\frac{1}{2} I$ を満たすようにaの値を定めれば良い。